Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102080 / 96448
↖ ↑ ↗
← S 64.396938°
E100.371094°		 ← 131.98 m → S 64.396938°
E100.373841°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.398125°
E100.371094°		 ← 131.98 m →
17 423 m²		 S 64.398125°
E100.373841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778812408447266 y=0.735843658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778812408447266 × 217)
    floor (0.778812408447266 × 131072)
    floor (102080.5)     		tx = 102080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735843658447266 × 217)
    floor (0.735843658447266 × 131072)
    floor (96448.5)     		ty = 96448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102080 / 96448 ti = "17/102080/96448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102080/96448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102080 ÷ 217
    102080 ÷ 131072     		x = 0.77880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96448 ÷ 217
    96448 ÷ 131072     		y = 0.73583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73583984375 × 2 - 1) × π
    -0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75180606} λ = 1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48182544105518))-π/2
    2×atan(0.227222528242199)-π/2
    2×0.223428867163543-π/2
    0.446857734327085-1.57079632675     		φ = -1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102080 KachelY 96448 1.75180606 -1.12393859 100.371094 -64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 102081 KachelY 96448 1.75185400 -1.12393859 100.373841 -64.396938
    Unten links KachelX 102080 KachelY + 1 96449 1.75180606 -1.12395931 100.371094 -64.398125
    Unten rechts KachelX + 1 102081 KachelY + 1 96449 1.75185400 -1.12395931 100.373841 -64.398125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12393859--1.12395931) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12393859--1.12395931) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75180606-1.75185400) × cos(-1.12393859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 131.984831331368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75180606-1.75185400) × cos(-1.12395931) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432115264001923 × 6371000     		du = 131.979124272996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12393859)-sin(-1.12395931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.432115264001923)×R²
    abs(1.75185400-1.75180606)×1.8685584167899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8685584167899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8685584167899e-05×40589641000000     		ar = 17422.560782106m²