Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10208 / 14411
↖ ↑ ↗
← S 79.476606°
E 44.296875°		 ← 446.22 m → S 79.476606°
E 44.318848°		 →
↑
446.10 m
↓
↑
446.10 m
↓
S 79.480618°
E 44.296875°		 ← 446.05 m →
199 021 m²		 S 79.480618°
E 44.318848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623077392578125 y=0.879608154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623077392578125 × 214)
    floor (0.623077392578125 × 16384)
    floor (10208.5)     		tx = 10208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879608154296875 × 214)
    floor (0.879608154296875 × 16384)
    floor (14411.5)     		ty = 14411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10208 / 14411 ti = "14/10208/14411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10208/14411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10208 ÷ 214
    10208 ÷ 16384     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14411 ÷ 214
    14411 ÷ 16384     		y = 0.87957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.7591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38495662989703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38495662989703))-π/2
    2×atan(0.0920929735744169)-π/2
    2×0.0918339400477695-π/2
    0.183667880095539-1.57079632675     		φ = -1.38712845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38712845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.476606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10208 KachelY 14411 0.77312632 -1.38712845 44.296875 -79.476606
    Oben rechts KachelX + 1 10209 KachelY 14411 0.77350981 -1.38712845 44.318848 -79.476606
    Unten links KachelX 10208 KachelY + 1 14412 0.77312632 -1.38719847 44.296875 -79.480618
    Unten rechts KachelX + 1 10209 KachelY + 1 14412 0.77350981 -1.38719847 44.318848 -79.480618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38712845--1.38719847) × R
    7.00199999998929e-05 × 6371000     		dl = 446.097419999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38712845--1.38719847) × R
    7.00199999998929e-05 × 6371000     		dr = 446.097419999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77350981) × cos(-1.38712845) × R
    0.000383489999999931 × 0.182636978515362 × 6371000     		do = 446.221367109563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77350981) × cos(-1.38719847) × R
    0.000383489999999931 × 0.182568135774842 × 6371000     		du = 446.053169507743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38712845)-sin(-1.38719847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182636978515362-0.182568135774842)×R²
    abs(0.77350981-0.77312632)×6.88427405190761e-05×R²
    0.000383489999999931×6.88427405190761e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.88427405190761e-05×40589641000000     		ar = 199020.6844404m²