Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102079 / 96191
↖ ↑ ↗
← S 64.090208°
E100.368347°		 ← 133.46 m → S 64.090208°
E100.371094°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
S 64.091407°
E100.368347°		 ← 133.45 m →
17 804 m²		 S 64.091407°
E100.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778804779052734 y=0.733882904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778804779052734 × 217)
    floor (0.778804779052734 × 131072)
    floor (102079.5)     		tx = 102079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733882904052734 × 217)
    floor (0.733882904052734 × 131072)
    floor (96191.5)     		ty = 96191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102079 / 96191 ti = "17/102079/96191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102079/96191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102079 ÷ 217
    102079 ÷ 131072     		x = 0.778800964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96191 ÷ 217
    96191 ÷ 131072     		y = 0.733879089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778800964355469 × 2 - 1) × π
    0.557601928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.75175812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733879089355469 × 2 - 1) × π
    -0.467758178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.46950565785282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75175812} λ = 1.75175812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46950565785282))-π/2
    2×atan(0.230039175143316)-π/2
    2×0.226105594573859-π/2
    0.452211189147718-1.57079632675     		φ = -1.11858514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75175812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.368347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11858514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.090208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102079 KachelY 96191 1.75175812 -1.11858514 100.368347 -64.090208
    Oben rechts KachelX + 1 102080 KachelY 96191 1.75180606 -1.11858514 100.371094 -64.090208
    Unten links KachelX 102079 KachelY + 1 96192 1.75175812 -1.11860608 100.368347 -64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 102080 KachelY + 1 96192 1.75180606 -1.11860608 100.371094 -64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11858514--1.11860608) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11858514--1.11860608) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75175812-1.75180606) × cos(-1.11858514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436955525882671 × 6371000     		do = 133.457464839716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75175812-1.75180606) × cos(-1.11860608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 133.451712062779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11858514)-sin(-1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436955525882671-0.436936690610512)×R²
    abs(1.75180606-1.75175812)×1.88352721584573e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88352721584573e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88352721584573e-05×40589641000000     		ar = 17804.0084931173m²