Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102071 / 97493
↖ ↑ ↗
← S 65.609550°
E100.346375°		 ← 126.10 m → S 65.609550°
E100.349121°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.610683°
E100.346375°		 ← 126.09 m →
15 899 m²		 S 65.610683°
E100.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778743743896484 y=0.743816375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778743743896484 × 217)
    floor (0.778743743896484 × 131072)
    floor (102071.5)     		tx = 102071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743816375732422 × 217)
    floor (0.743816375732422 × 131072)
    floor (97493.5)     		ty = 97493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102071 / 97493 ti = "17/102071/97493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102071/97493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102071 ÷ 217
    102071 ÷ 131072     		x = 0.778739929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97493 ÷ 217
    97493 ÷ 131072     		y = 0.743812561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778739929199219 × 2 - 1) × π
    0.557479858398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.75137463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743812561035156 × 2 - 1) × π
    -0.487625122070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53191950115813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75137463} λ = 1.75137463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53191950115813))-π/2
    2×atan(0.216120425507878)-π/2
    2×0.212846835221999-π/2
    0.425693670443999-1.57079632675     		φ = -1.14510266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75137463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.346375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14510266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.609550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102071 KachelY 97493 1.75137463 -1.14510266 100.346375 -65.609550
    Oben rechts KachelX + 1 102072 KachelY 97493 1.75142256 -1.14510266 100.349121 -65.609550
    Unten links KachelX 102071 KachelY + 1 97494 1.75137463 -1.14512245 100.346375 -65.610683
    Unten rechts KachelX + 1 102072 KachelY + 1 97494 1.75142256 -1.14512245 100.349121 -65.610683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14510266--1.14512245) × R
    1.9789999999853e-05 × 6371000     		dl = 126.082089999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14510266--1.14512245) × R
    1.9789999999853e-05 × 6371000     		dr = 126.082089999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75137463-1.75142256) × cos(-1.14510266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412952639811721 × 6371000     		do = 126.100056386843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75137463-1.75142256) × cos(-1.14512245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412934615938871 × 6371000     		du = 126.094552580441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14510266)-sin(-1.14512245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412952639811721-0.412934615938871)×R²
    abs(1.75142256-1.75137463)×1.80238728499371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80238728499371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80238728499371e-05×40589641000000     		ar = 15898.6116930644m²