Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10207 / 2534
↖ ↑ ↗
← N 76.970245°
E 44.274902°		 ← 550.85 m → N 76.970245°
E 44.296875°		 →
↑
550.96 m
↓
↑
550.96 m
↓
N 76.965290°
E 44.274902°		 ← 551.06 m →
303 558 m²		 N 76.965290°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623016357421875 y=0.154693603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623016357421875 × 214)
    floor (0.623016357421875 × 16384)
    floor (10207.5)     		tx = 10207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154693603515625 × 214)
    floor (0.154693603515625 × 16384)
    floor (2534.5)     		ty = 2534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10207 / 2534 ti = "14/10207/2534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10207/2534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10207 ÷ 214
    10207 ÷ 16384     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2534 ÷ 214
    2534 ÷ 16384     		y = 0.1546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1546630859375 × 2 - 1) × π
    0.690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16981582440222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16981582440222))-π/2
    2×atan(8.75667112707635)-π/2
    2×1.45709026466645-π/2
    2.9141805293329-1.57079632675     		φ = 1.34338420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34338420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.970245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10207 KachelY 2534 0.77274282 1.34338420 44.274902 76.970245
    Oben rechts KachelX + 1 10208 KachelY 2534 0.77312632 1.34338420 44.296875 76.970245
    Unten links KachelX 10207 KachelY + 1 2535 0.77274282 1.34329772 44.274902 76.965290
    Unten rechts KachelX + 1 10208 KachelY + 1 2535 0.77312632 1.34329772 44.296875 76.965290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34338420-1.34329772) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dl = 550.964079999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34338420-1.34329772) × R
    8.64799999999999e-05 × 6371000     		dr = 550.964079999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(1.34338420) × R
    0.000383499999999981 × 0.225457037781002 × 6371000     		do = 550.854333083983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(1.34329772) × R
    0.000383499999999981 × 0.225541290346856 × 6371000     		du = 551.060185566703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34338420)-sin(1.34329772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225457037781002-0.225541290346856)×R²
    abs(0.77312632-0.77274282)×8.42525658533988e-05×R²
    0.000383499999999981×8.42525658533988e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.42525658533988e-05×40589641000000     		ar = 303557.659691336m²