Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10207 / 2162
↖ ↑ ↗
← N 78.690491°
E 44.274902°		 ← 479.15 m → N 78.690491°
E 44.296875°		 →
↑
479.23 m
↓
↑
479.23 m
↓
N 78.686181°
E 44.274902°		 ← 479.33 m →
229 664 m²		 N 78.686181°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623016357421875 y=0.131988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623016357421875 × 214)
    floor (0.623016357421875 × 16384)
    floor (10207.5)     		tx = 10207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131988525390625 × 214)
    floor (0.131988525390625 × 16384)
    floor (2162.5)     		ty = 2162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10207 / 2162 ti = "14/10207/2162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10207/2162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10207 ÷ 214
    10207 ÷ 16384     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2162 ÷ 214
    2162 ÷ 16384     		y = 0.1319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1319580078125 × 2 - 1) × π
    0.736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31247603767151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31247603767151))-π/2
    2×atan(10.099400217435)-π/2
    2×1.47210224323766-π/2
    2.94420448647531-1.57079632675     		φ = 1.37340816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37340816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.690491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10207 KachelY 2162 0.77274282 1.37340816 44.274902 78.690491
    Oben rechts KachelX + 1 10208 KachelY 2162 0.77312632 1.37340816 44.296875 78.690491
    Unten links KachelX 10207 KachelY + 1 2163 0.77274282 1.37333294 44.274902 78.686181
    Unten rechts KachelX + 1 10208 KachelY + 1 2163 0.77312632 1.37333294 44.296875 78.686181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37340816-1.37333294) × R
    7.52200000000425e-05 × 6371000     		dl = 479.226620000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37340816-1.37333294) × R
    7.52200000000425e-05 × 6371000     		dr = 479.226620000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(1.37340816) × R
    0.000383499999999981 × 0.196108885645973 × 6371000     		do = 479.14862395774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(1.37333294) × R
    0.000383499999999981 × 0.196182644478591 × 6371000     		du = 479.328837327662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37340816)-sin(1.37333294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196108885645973-0.196182644478591)×R²
    abs(0.77312632-0.77274282)×7.37588326184258e-05×R²
    0.000383499999999981×7.37588326184258e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.37588326184258e-05×40589641000000     		ar = 229663.957167393m²