Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10207 / 14410
↖ ↑ ↗
← S 79.472592°
E 44.274902°		 ← 446.40 m → S 79.472592°
E 44.296875°		 →
↑
446.35 m
↓
↑
446.35 m
↓
S 79.476606°
E 44.274902°		 ← 446.23 m →
199 215 m²		 S 79.476606°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623016357421875 y=0.879547119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623016357421875 × 214)
    floor (0.623016357421875 × 16384)
    floor (10207.5)     		tx = 10207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879547119140625 × 214)
    floor (0.879547119140625 × 16384)
    floor (14410.5)     		ty = 14410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10207 / 14410 ti = "14/10207/14410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10207/14410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10207 ÷ 214
    10207 ÷ 16384     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14410 ÷ 214
    14410 ÷ 16384     		y = 0.8795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38457313470007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38457313470007))-π/2
    2×atan(0.0921282975603131)-π/2
    2×0.0918689668533126-π/2
    0.183737933706625-1.57079632675     		φ = -1.38705839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38705839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.472592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10207 KachelY 14410 0.77274282 -1.38705839 44.274902 -79.472592
    Oben rechts KachelX + 1 10208 KachelY 14410 0.77312632 -1.38705839 44.296875 -79.472592
    Unten links KachelX 10207 KachelY + 1 14411 0.77274282 -1.38712845 44.274902 -79.476606
    Unten rechts KachelX + 1 10208 KachelY + 1 14411 0.77312632 -1.38712845 44.296875 -79.476606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38705839--1.38712845) × R
    7.00600000000939e-05 × 6371000     		dl = 446.352260000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38705839--1.38712845) × R
    7.00600000000939e-05 × 6371000     		dr = 446.352260000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(-1.38705839) × R
    0.000383499999999981 × 0.182705859687153 × 6371000     		do = 446.401298797616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77312632) × cos(-1.38712845) × R
    0.000383499999999981 × 0.182636978515362 × 6371000     		du = 446.233002911523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38705839)-sin(-1.38712845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182705859687153-0.182636978515362)×R²
    abs(0.77312632-0.77274282)×6.88811717915738e-05×R²
    0.000383499999999981×6.88811717915738e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.88811717915738e-05×40589641000000     		ar = 199214.669040899m²