Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102069 / 97492
↖ ↑ ↗
← S 65.608415°
E100.340881°		 ← 126.13 m → S 65.608415°
E100.343628°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
S 65.609550°
E100.340881°		 ← 126.13 m →
15 911 m²		 S 65.609550°
E100.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778728485107422 y=0.743808746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778728485107422 × 217)
    floor (0.778728485107422 × 131072)
    floor (102069.5)     		tx = 102069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743808746337891 × 217)
    floor (0.743808746337891 × 131072)
    floor (97492.5)     		ty = 97492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102069 / 97492 ti = "17/102069/97492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102069/97492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102069 ÷ 217
    102069 ÷ 131072     		x = 0.778724670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97492 ÷ 217
    97492 ÷ 131072     		y = 0.743804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778724670410156 × 2 - 1) × π
    0.557449340820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75127875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.48760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53187156425851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75127875} λ = 1.75127875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53187156425851))-π/2
    2×atan(0.216130785899342)-π/2
    2×0.212856733272766-π/2
    0.425713466545532-1.57079632675     		φ = -1.14508286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75127875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.340881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14508286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.608415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102069 KachelY 97492 1.75127875 -1.14508286 100.340881 -65.608415
    Oben rechts KachelX + 1 102070 KachelY 97492 1.75132669 -1.14508286 100.343628 -65.608415
    Unten links KachelX 102069 KachelY + 1 97493 1.75127875 -1.14510266 100.340881 -65.609550
    Unten rechts KachelX + 1 102070 KachelY + 1 97493 1.75132669 -1.14510266 100.343628 -65.609550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14508286--1.14510266) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14508286--1.14510266) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75127875-1.75132669) × cos(-1.14508286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412970672630284 × 6371000     		do = 126.13187328632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75127875-1.75132669) × cos(-1.14510266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412952639811721 × 6371000     		du = 126.126365599366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14508286)-sin(-1.14510266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412970672630284-0.412952639811721)×R²
    abs(1.75132669-1.75127875)×1.80328185629408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80328185629408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80328185629408e-05×40589641000000     		ar = 15910.6586759361m²