Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102068 / 96055
↖ ↑ ↗
← S 63.926510°
E100.338135°		 ← 134.21 m → S 63.926510°
E100.340881°		 →
↑
134.24 m
↓
↑
134.24 m
↓
S 63.927717°
E100.338135°		 ← 134.21 m →
18 016 m²		 S 63.927717°
E100.340881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778720855712891 y=0.732845306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778720855712891 × 217)
    floor (0.778720855712891 × 131072)
    floor (102068.5)     		tx = 102068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732845306396484 × 217)
    floor (0.732845306396484 × 131072)
    floor (96055.5)     		ty = 96055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102068 / 96055 ti = "17/102068/96055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102068/96055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102068 ÷ 217
    102068 ÷ 131072     		x = 0.778717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96055 ÷ 217
    96055 ÷ 131072     		y = 0.732841491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778717041015625 × 2 - 1) × π
    0.55743408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.75123082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732841491699219 × 2 - 1) × π
    -0.465682983398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.46298623950449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75123082} λ = 1.75123082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46298623950449))-π/2
    2×atan(0.23154379605997)-π/2
    2×0.227534125016046-π/2
    0.455068250032092-1.57079632675     		φ = -1.11572808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75123082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11572808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.926510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102068 KachelY 96055 1.75123082 -1.11572808 100.338135 -63.926510
    Oben rechts KachelX + 1 102069 KachelY 96055 1.75127875 -1.11572808 100.340881 -63.926510
    Unten links KachelX 102068 KachelY + 1 96056 1.75123082 -1.11574915 100.338135 -63.927717
    Unten rechts KachelX + 1 102069 KachelY + 1 96056 1.75127875 -1.11574915 100.340881 -63.927717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11572808--1.11574915) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dl = 134.23697000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11572808--1.11574915) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dr = 134.23697000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75123082-1.75127875) × cos(-1.11572808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439523616218534 × 6371000     		do = 134.213823681515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75123082-1.75127875) × cos(-1.11574915) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439504690393083 × 6371000     		du = 134.208044453035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11572808)-sin(-1.11574915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439523616218534-0.439504690393083)×R²
    abs(1.75127875-1.75123082)×1.89258254512104e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89258254512104e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89258254512104e-05×40589641000000     		ar = 18016.06913093m²