Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102067 / 97490
↖ ↑ ↗
← S 65.606147°
E100.335388°		 ← 126.14 m → S 65.606147°
E100.338135°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.607281°
E100.335388°		 ← 126.14 m →
15 904 m²		 S 65.607281°
E100.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778713226318359 y=0.743793487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778713226318359 × 217)
    floor (0.778713226318359 × 131072)
    floor (102067.5)     		tx = 102067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743793487548828 × 217)
    floor (0.743793487548828 × 131072)
    floor (97490.5)     		ty = 97490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102067 / 97490 ti = "17/102067/97490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102067/97490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102067 ÷ 217
    102067 ÷ 131072     		x = 0.778709411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97490 ÷ 217
    97490 ÷ 131072     		y = 0.743789672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778709411621094 × 2 - 1) × π
    0.557418823242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75118288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743789672851562 × 2 - 1) × π
    -0.487579345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53177569045927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75118288} λ = 1.75118288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53177569045927))-π/2
    2×atan(0.216151508172265)-π/2
    2×0.212876530670737-π/2
    0.425753061341474-1.57079632675     		φ = -1.14504327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75118288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.335388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14504327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.606147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102067 KachelY 97490 1.75118288 -1.14504327 100.335388 -65.606147
    Oben rechts KachelX + 1 102068 KachelY 97490 1.75123082 -1.14504327 100.338135 -65.606147
    Unten links KachelX 102067 KachelY + 1 97491 1.75118288 -1.14506306 100.335388 -65.607281
    Unten rechts KachelX + 1 102068 KachelY + 1 97491 1.75123082 -1.14506306 100.338135 -65.607281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14504327--1.14506306) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dl = 126.082090000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14504327--1.14506306) × R
    1.9790000000075e-05 × 6371000     		dr = 126.082090000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75118288-1.75123082) × cos(-1.14504327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41300672867442 × 6371000     		do = 126.142885730281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75118288-1.75123082) × cos(-1.14506306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412988705286946 × 6371000     		du = 126.137380923825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14504327)-sin(-1.14506306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41300672867442-0.412988705286946)×R²
    abs(1.75123082-1.75118288)×1.80233874740865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80233874740865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80233874740865e-05×40589641000000     		ar = 15904.0116431948m²