Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102067 / 96054
↖ ↑ ↗
← S 63.925303°
E100.335388°		 ← 134.25 m → S 63.925303°
E100.338135°		 →
↑
134.24 m
↓
↑
134.24 m
↓
S 63.926510°
E100.335388°		 ← 134.24 m →
18 021 m²		 S 63.926510°
E100.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778713226318359 y=0.732837677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778713226318359 × 217)
    floor (0.778713226318359 × 131072)
    floor (102067.5)     		tx = 102067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732837677001953 × 217)
    floor (0.732837677001953 × 131072)
    floor (96054.5)     		ty = 96054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102067 / 96054 ti = "17/102067/96054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102067/96054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102067 ÷ 217
    102067 ÷ 131072     		x = 0.778709411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96054 ÷ 217
    96054 ÷ 131072     		y = 0.732833862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778709411621094 × 2 - 1) × π
    0.557418823242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75118288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732833862304688 × 2 - 1) × π
    -0.465667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46293830260487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75118288} λ = 1.75118288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46293830260487))-π/2
    2×atan(0.231554895817721)-π/2
    2×0.227544659942657-π/2
    0.455089319885315-1.57079632675     		φ = -1.11570701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75118288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.335388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11570701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.925303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102067 KachelY 96054 1.75118288 -1.11570701 100.335388 -63.925303
    Oben rechts KachelX + 1 102068 KachelY 96054 1.75123082 -1.11570701 100.338135 -63.925303
    Unten links KachelX 102067 KachelY + 1 96055 1.75118288 -1.11572808 100.335388 -63.926510
    Unten rechts KachelX + 1 102068 KachelY + 1 96055 1.75123082 -1.11572808 100.338135 -63.926510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11570701--1.11572808) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dl = 134.23697000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11570701--1.11572808) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dr = 134.23697000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75118288-1.75123082) × cos(-1.11570701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439542541848861 × 6371000     		do = 134.247606105581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75118288-1.75123082) × cos(-1.11572808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439523616218534 × 6371000     		du = 134.241825730934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11570701)-sin(-1.11572808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439542541848861-0.439523616218534)×R²
    abs(1.75123082-1.75118288)×1.89256303269603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89256303269603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89256303269603e-05×40589641000000     		ar = 18020.6039041194m²