Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102065 / 97489
↖ ↑ ↗
← S 65.605012°
E100.329895°		 ← 126.12 m → S 65.605012°
E100.332641°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
S 65.606147°
E100.329895°		 ← 126.12 m →
15 909 m²		 S 65.606147°
E100.332641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778697967529297 y=0.743785858154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778697967529297 × 217)
    floor (0.778697967529297 × 131072)
    floor (102065.5)     		tx = 102065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743785858154297 × 217)
    floor (0.743785858154297 × 131072)
    floor (97489.5)     		ty = 97489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102065 / 97489 ti = "17/102065/97489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102065/97489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102065 ÷ 217
    102065 ÷ 131072     		x = 0.778694152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97489 ÷ 217
    97489 ÷ 131072     		y = 0.743782043457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778694152832031 × 2 - 1) × π
    0.557388305664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.75108701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743782043457031 × 2 - 1) × π
    -0.487564086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53172775355965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75108701} λ = 1.75108701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53172775355965))-π/2
    2×atan(0.216161870053771)-π/2
    2×0.212886430017972-π/2
    0.425772860035943-1.57079632675     		φ = -1.14502347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75108701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.329895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14502347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.605012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102065 KachelY 97489 1.75108701 -1.14502347 100.329895 -65.605012
    Oben rechts KachelX + 1 102066 KachelY 97489 1.75113494 -1.14502347 100.332641 -65.605012
    Unten links KachelX 102065 KachelY + 1 97490 1.75108701 -1.14504327 100.329895 -65.606147
    Unten rechts KachelX + 1 102066 KachelY + 1 97490 1.75113494 -1.14504327 100.332641 -65.606147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14502347--1.14504327) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14502347--1.14504327) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75108701-1.75113494) × cos(-1.14502347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413024761007341 × 6371000     		do = 126.122079461544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75108701-1.75113494) × cos(-1.14504327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41300672867442 × 6371000     		du = 126.116573071757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14502347)-sin(-1.14504327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413024761007341-0.41300672867442)×R²
    abs(1.75113494-1.75108701)×1.80323329204146e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80323329204146e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80323329204146e-05×40589641000000     		ar = 15909.4233078609m²