Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10206 / 2542
N 76.930554°
E 44.252930°
← 552.49 m → N 76.930554°
E 44.274902°

552.56 m

552.56 m
N 76.925585°
E 44.252930°
← 552.70 m →
305 338 m²
N 76.925585°
E 44.274902°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622955322265625 y=0.155181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622955322265625 × 214)
    floor (0.622955322265625 × 16384)
    floor (10206.5)
    tx = 10206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155181884765625 × 214)
    floor (0.155181884765625 × 16384)
    floor (2542.5)
    ty = 2542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10206 / 2542 ti = "14/10206/2542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10206/2542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10206 ÷ 214
    10206 ÷ 16384
    x = 0.6229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2542 ÷ 214
    2542 ÷ 16384
    y = 0.1551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.6229248046875 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535
    Λ = 0.77235933
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1551513671875 × 2 - 1) × π
    0.689697265625 × 3.1415926535
    Φ = 2.16674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77235933} λ = 0.77235933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16674786282654))-π/2
    2×atan(8.72984716500984)-π/2
    2×1.45674390055515-π/2
    2.9134878011103-1.57079632675
    φ = 1.34269147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77235933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.252930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34269147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.930554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10206 KachelY 2542 0.77235933 1.34269147 44.252930 76.930554
    Oben rechts KachelX + 1 10207 KachelY 2542 0.77274282 1.34269147 44.274902 76.930554
    Unten links KachelX 10206 KachelY + 1 2543 0.77235933 1.34260474 44.252930 76.925585
    Unten rechts KachelX + 1 10207 KachelY + 1 2543 0.77274282 1.34260474 44.274902 76.925585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000
    dl = 552.556830000222m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34269147-1.34260474) × R
    8.67300000000348e-05 × 6371000
    dr = 552.556830000222m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.77235933-0.77274282) × cos(1.34269147) × R
    0.000383490000000042 × 0.226131877988965 × 6371000
    do = 552.488748793175m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.77235933-0.77274282) × cos(1.34260474) × R
    0.000383490000000042 × 0.226216360544837 × 6371000
    du = 552.69515782318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34269147)-sin(1.34260474))×
    abs(λ12)×abs(0.226131877988965-0.226216360544837)×
    abs(0.77274282-0.77235933)×8.4482555872345e-05×
    0.000383490000000042×8.4482555872345e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.4482555872345e-05×40589641000000
    ar = 305338.458195428m²