Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102059 / 99739
↖ ↑ ↗
← S 68.035325°
E100.313415°		 ← 114.24 m → S 68.035325°
E100.316162°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.036352°
E100.313415°		 ← 114.23 m →
13 050 m²		 S 68.036352°
E100.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778652191162109 y=0.760951995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778652191162109 × 217)
    floor (0.778652191162109 × 131072)
    floor (102059.5)     		tx = 102059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760951995849609 × 217)
    floor (0.760951995849609 × 131072)
    floor (99739.5)     		ty = 99739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102059 / 99739 ti = "17/102059/99739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102059/99739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102059 ÷ 217
    102059 ÷ 131072     		x = 0.778648376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99739 ÷ 217
    99739 ÷ 131072     		y = 0.760948181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778648376464844 × 2 - 1) × π
    0.557296752929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.75079938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760948181152344 × 2 - 1) × π
    -0.521896362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63958577770478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75079938} λ = 1.75079938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63958577770478))-π/2
    2×atan(0.194060409793093)-π/2
    2×0.191677946832079-π/2
    0.383355893664158-1.57079632675     		φ = -1.18744043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75079938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.313415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18744043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.035325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102059 KachelY 99739 1.75079938 -1.18744043 100.313415 -68.035325
    Oben rechts KachelX + 1 102060 KachelY 99739 1.75084732 -1.18744043 100.316162 -68.035325
    Unten links KachelX 102059 KachelY + 1 99740 1.75079938 -1.18745836 100.313415 -68.036352
    Unten rechts KachelX + 1 102060 KachelY + 1 99740 1.75084732 -1.18745836 100.316162 -68.036352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18744043--1.18745836) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dl = 114.232029998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18744043--1.18745836) × R
    1.79299999998328e-05 × 6371000     		dr = 114.232029998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75079938-1.75084732) × cos(-1.18744043) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.37403487757812 × 6371000     		do = 114.239879270561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75079938-1.75084732) × cos(-1.18745836) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.374018248973542 × 6371000     		du = 114.234800466703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18744043)-sin(-1.18745836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37403487757812-0.374018248973542)×R²
    abs(1.75084732-1.75079938)×1.66286045775177e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66286045775177e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66286045775177e-05×40589641000000     		ar = 13049.5632351869m²