Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102058 / 99740
↖ ↑ ↗
← S 68.036352°
E100.310669°		 ← 114.21 m → S 68.036352°
E100.313415°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.037380°
E100.310669°		 ← 114.21 m →
13 046 m²		 S 68.037380°
E100.313415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778644561767578 y=0.760959625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778644561767578 × 217)
    floor (0.778644561767578 × 131072)
    floor (102058.5)     		tx = 102058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760959625244141 × 217)
    floor (0.760959625244141 × 131072)
    floor (99740.5)     		ty = 99740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102058 / 99740 ti = "17/102058/99740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102058/99740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102058 ÷ 217
    102058 ÷ 131072     		x = 0.778640747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99740 ÷ 217
    99740 ÷ 131072     		y = 0.760955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778640747070312 × 2 - 1) × π
    0.557281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75075145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.52191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6396337146044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75075145} λ = 1.75075145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6396337146044))-π/2
    2×atan(0.194051107361675)-π/2
    2×0.191668981995237-π/2
    0.383337963990473-1.57079632675     		φ = -1.18745836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75075145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.310669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18745836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.036352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102058 KachelY 99740 1.75075145 -1.18745836 100.310669 -68.036352
    Oben rechts KachelX + 1 102059 KachelY 99740 1.75079938 -1.18745836 100.313415 -68.036352
    Unten links KachelX 102058 KachelY + 1 99741 1.75075145 -1.18747629 100.310669 -68.037380
    Unten rechts KachelX + 1 102059 KachelY + 1 99741 1.75079938 -1.18747629 100.313415 -68.037380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18745836--1.18747629) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18745836--1.18747629) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75075145-1.75079938) × cos(-1.18745836) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.374018248973542 × 6371000     		do = 114.210971763147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75075145-1.75079938) × cos(-1.18747629) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.374001620248723 × 6371000     		du = 114.20589398198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18745836)-sin(-1.18747629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374018248973542-0.374001620248723)×R²
    abs(1.75079938-1.75075145)×1.66287248189456e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66287248189456e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66287248189456e-05×40589641000000     		ar = 13046.2611305812m²