Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102054 / 99750
↖ ↑ ↗
← S 68.046623°
E100.299683°		 ← 114.18 m → S 68.046623°
E100.302429°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.047650°
E100.299683°		 ← 114.18 m →
13 036 m²		 S 68.047650°
E100.302429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778614044189453 y=0.761035919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778614044189453 × 217)
    floor (0.778614044189453 × 131072)
    floor (102054.5)     		tx = 102054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761035919189453 × 217)
    floor (0.761035919189453 × 131072)
    floor (99750.5)     		ty = 99750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102054 / 99750 ti = "17/102054/99750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102054/99750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102054 ÷ 217
    102054 ÷ 131072     		x = 0.778610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99750 ÷ 217
    99750 ÷ 131072     		y = 0.761032104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778610229492188 × 2 - 1) × π
    0.557220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75055970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761032104492188 × 2 - 1) × π
    -0.522064208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6401130836006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75055970} λ = 1.75055970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6401130836006))-π/2
    2×atan(0.193958107569517)-π/2
    2×0.191579355544462-π/2
    0.383158711088924-1.57079632675     		φ = -1.18763762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75055970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.299683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18763762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.046623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102054 KachelY 99750 1.75055970 -1.18763762 100.299683 -68.046623
    Oben rechts KachelX + 1 102055 KachelY 99750 1.75060764 -1.18763762 100.302429 -68.046623
    Unten links KachelX 102054 KachelY + 1 99751 1.75055970 -1.18765554 100.299683 -68.047650
    Unten rechts KachelX + 1 102055 KachelY + 1 99751 1.75060764 -1.18765554 100.302429 -68.047650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18763762--1.18765554) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18763762--1.18765554) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75055970-1.75060764) × cos(-1.18763762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373851993414916 × 6371000     		do = 114.184021739151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75055970-1.75060764) × cos(-1.18765554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373835372763198 × 6371000     		du = 114.178945364301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18763762)-sin(-1.18765554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373851993414916-0.373835372763198)×R²
    abs(1.75060764-1.75055970)×1.66206517180911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66206517180911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66206517180911e-05×40589641000000     		ar = 13035.9081523654m²