Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102054 / 97381
↖ ↑ ↗
← S 65.482207°
E100.299683°		 ← 126.74 m → S 65.482207°
E100.302429°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
S 65.483347°
E100.299683°		 ← 126.74 m →
16 069 m²		 S 65.483347°
E100.302429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778614044189453 y=0.742961883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778614044189453 × 217)
    floor (0.778614044189453 × 131072)
    floor (102054.5)     		tx = 102054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742961883544922 × 217)
    floor (0.742961883544922 × 131072)
    floor (97381.5)     		ty = 97381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102054 / 97381 ti = "17/102054/97381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102054/97381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102054 ÷ 217
    102054 ÷ 131072     		x = 0.778610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97381 ÷ 217
    97381 ÷ 131072     		y = 0.742958068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778610229492188 × 2 - 1) × π
    0.557220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75055970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742958068847656 × 2 - 1) × π
    -0.485916137695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52655056840069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75055970} λ = 1.75055970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52655056840069))-π/2
    2×atan(0.21728388200503)-π/2
    2×0.21395810651268-π/2
    0.427916213025359-1.57079632675     		φ = -1.14288011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75055970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.299683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14288011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.482207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102054 KachelY 97381 1.75055970 -1.14288011 100.299683 -65.482207
    Oben rechts KachelX + 1 102055 KachelY 97381 1.75060764 -1.14288011 100.302429 -65.482207
    Unten links KachelX 102054 KachelY + 1 97382 1.75055970 -1.14290001 100.299683 -65.483347
    Unten rechts KachelX + 1 102055 KachelY + 1 97382 1.75060764 -1.14290001 100.302429 -65.483347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14288011--1.14290001) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14288011--1.14290001) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75055970-1.75060764) × cos(-1.14288011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4149758111788 × 6371000     		do = 126.744294211302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75055970-1.75060764) × cos(-1.14290001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414957705430999 × 6371000     		du = 126.738764249882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14288011)-sin(-1.14290001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4149758111788-0.414957705430999)×R²
    abs(1.75060764-1.75055970)×1.81057478015334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81057478015334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81057478015334e-05×40589641000000     		ar = 16068.6586268706m²