Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102053 / 97567
↖ ↑ ↗
← S 65.693345°
E100.296936°		 ← 125.72 m → S 65.693345°
E100.299683°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.694476°
E100.296936°		 ← 125.71 m →
15 803 m²		 S 65.694476°
E100.299683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778606414794922 y=0.744380950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778606414794922 × 217)
    floor (0.778606414794922 × 131072)
    floor (102053.5)     		tx = 102053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744380950927734 × 217)
    floor (0.744380950927734 × 131072)
    floor (97567.5)     		ty = 97567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102053 / 97567 ti = "17/102053/97567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102053/97567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102053 ÷ 217
    102053 ÷ 131072     		x = 0.778602600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97567 ÷ 217
    97567 ÷ 131072     		y = 0.744377136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778602600097656 × 2 - 1) × π
    0.557205200195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75051176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744377136230469 × 2 - 1) × π
    -0.488754272460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53546683173002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75051176} λ = 1.75051176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53546683173002))-π/2
    2×atan(0.215355133090368)-π/2
    2×0.212115577603192-π/2
    0.424231155206384-1.57079632675     		φ = -1.14656517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75051176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.296936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14656517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.693345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102053 KachelY 97567 1.75051176 -1.14656517 100.296936 -65.693345
    Oben rechts KachelX + 1 102054 KachelY 97567 1.75055970 -1.14656517 100.299683 -65.693345
    Unten links KachelX 102053 KachelY + 1 97568 1.75051176 -1.14658490 100.296936 -65.694476
    Unten rechts KachelX + 1 102054 KachelY + 1 97568 1.75055970 -1.14658490 100.299683 -65.694476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14656517--1.14658490) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14656517--1.14658490) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75051176-1.75055970) × cos(-1.14656517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411620214007517 × 6371000     		do = 125.719408462122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75051176-1.75055970) × cos(-1.14658490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411602232883906 × 6371000     		du = 125.713916564137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14656517)-sin(-1.14658490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411620214007517-0.411602232883906)×R²
    abs(1.75055970-1.75051176)×1.79811236109551e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79811236109551e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79811236109551e-05×40589641000000     		ar = 15802.5631065219m²