Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102053 / 97379
↖ ↑ ↗
← S 65.479928°
E100.296936°		 ← 126.76 m → S 65.479928°
E100.299683°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.481067°
E100.296936°		 ← 126.75 m →
16 062 m²		 S 65.481067°
E100.299683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778606414794922 y=0.742946624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778606414794922 × 217)
    floor (0.778606414794922 × 131072)
    floor (102053.5)     		tx = 102053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742946624755859 × 217)
    floor (0.742946624755859 × 131072)
    floor (97379.5)     		ty = 97379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102053 / 97379 ti = "17/102053/97379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102053/97379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102053 ÷ 217
    102053 ÷ 131072     		x = 0.778602600097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97379 ÷ 217
    97379 ÷ 131072     		y = 0.742942810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778602600097656 × 2 - 1) × π
    0.557205200195312 × 3.1415926535     		Λ = 1.75051176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742942810058594 × 2 - 1) × π
    -0.485885620117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52645469460145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75051176} λ = 1.75051176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52645469460145))-π/2
    2×atan(0.217304714834957)-π/2
    2×0.213978000033949-π/2
    0.427956000067899-1.57079632675     		φ = -1.14284033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75051176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.296936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14284033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.479928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102053 KachelY 97379 1.75051176 -1.14284033 100.296936 -65.479928
    Oben rechts KachelX + 1 102054 KachelY 97379 1.75055970 -1.14284033 100.299683 -65.479928
    Unten links KachelX 102053 KachelY + 1 97380 1.75051176 -1.14286022 100.296936 -65.481067
    Unten rechts KachelX + 1 102054 KachelY + 1 97380 1.75055970 -1.14286022 100.299683 -65.481067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14284033--1.14286022) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14284033--1.14286022) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75051176-1.75055970) × cos(-1.14284033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415012003985074 × 6371000     		do = 126.755348425941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75051176-1.75055970) × cos(-1.14286022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414993907664025 × 6371000     		du = 126.749821343693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14284033)-sin(-1.14286022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415012003985074-0.414993907664025)×R²
    abs(1.75055970-1.75051176)×1.8096321048322e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8096321048322e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8096321048322e-05×40589641000000     		ar = 16061.9848874903m²