Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102052 / 97380
↖ ↑ ↗
← S 65.481067°
E100.294190°		 ← 126.72 m → S 65.481067°
E100.296936°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.482207°
E100.294190°		 ← 126.72 m →
16 058 m²		 S 65.482207°
E100.296936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778598785400391 y=0.742954254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778598785400391 × 217)
    floor (0.778598785400391 × 131072)
    floor (102052.5)     		tx = 102052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742954254150391 × 217)
    floor (0.742954254150391 × 131072)
    floor (97380.5)     		ty = 97380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102052 / 97380 ti = "17/102052/97380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102052/97380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102052 ÷ 217
    102052 ÷ 131072     		x = 0.778594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97380 ÷ 217
    97380 ÷ 131072     		y = 0.742950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778594970703125 × 2 - 1) × π
    0.55718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75046383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.48590087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52650263150107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75046383} λ = 1.75046383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52650263150107))-π/2
    2×atan(0.217294298170328)-π/2
    2×0.213968053056405-π/2
    0.42793610611281-1.57079632675     		φ = -1.14286022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75046383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.294190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14286022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.481067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102052 KachelY 97380 1.75046383 -1.14286022 100.294190 -65.481067
    Oben rechts KachelX + 1 102053 KachelY 97380 1.75051176 -1.14286022 100.296936 -65.481067
    Unten links KachelX 102052 KachelY + 1 97381 1.75046383 -1.14288011 100.294190 -65.482207
    Unten rechts KachelX + 1 102053 KachelY + 1 97381 1.75051176 -1.14288011 100.296936 -65.482207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14286022--1.14288011) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14286022--1.14288011) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75046383-1.75051176) × cos(-1.14286022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414993907664025 × 6371000     		do = 126.723382081997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75046383-1.75051176) × cos(-1.14288011) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4149758111788 × 6371000     		du = 126.717856102533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14286022)-sin(-1.14288011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414993907664025-0.4149758111788)×R²
    abs(1.75051176-1.75046383)×1.80964852249943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80964852249943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80964852249943e-05×40589641000000     		ar = 16057.9342080222m²