Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102052 / 97378
↖ ↑ ↗
← S 65.478787°
E100.294190°		 ← 126.73 m → S 65.478787°
E100.296936°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
S 65.479928°
E100.294190°		 ← 126.73 m →
16 067 m²		 S 65.479928°
E100.296936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778598785400391 y=0.742938995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778598785400391 × 217)
    floor (0.778598785400391 × 131072)
    floor (102052.5)     		tx = 102052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742938995361328 × 217)
    floor (0.742938995361328 × 131072)
    floor (97378.5)     		ty = 97378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102052 / 97378 ti = "17/102052/97378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102052/97378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102052 ÷ 217
    102052 ÷ 131072     		x = 0.778594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97378 ÷ 217
    97378 ÷ 131072     		y = 0.742935180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778594970703125 × 2 - 1) × π
    0.55718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75046383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742935180664062 × 2 - 1) × π
    -0.485870361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52640675770183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75046383} λ = 1.75046383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52640675770183))-π/2
    2×atan(0.21731513199894)-π/2
    2×0.213987947445329-π/2
    0.427975894890657-1.57079632675     		φ = -1.14282043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75046383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.294190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14282043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.478787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102052 KachelY 97378 1.75046383 -1.14282043 100.294190 -65.478787
    Oben rechts KachelX + 1 102053 KachelY 97378 1.75051176 -1.14282043 100.296936 -65.478787
    Unten links KachelX 102052 KachelY + 1 97379 1.75046383 -1.14284033 100.294190 -65.479928
    Unten rechts KachelX + 1 102053 KachelY + 1 97379 1.75051176 -1.14284033 100.296936 -65.479928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14282043--1.14284033) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14282043--1.14284033) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75046383-1.75051176) × cos(-1.14282043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415030109240015 × 6371000     		do = 126.73443666873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75046383-1.75051176) × cos(-1.14284033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415012003985074 × 6371000     		du = 126.728908011328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14282043)-sin(-1.14284033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415030109240015-0.415012003985074)×R²
    abs(1.75051176-1.75046383)×1.81052549415028e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81052549415028e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81052549415028e-05×40589641000000     		ar = 16067.4089417095m²