Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102051 / 97373
↖ ↑ ↗
← S 65.473087°
E100.291443°		 ← 126.79 m → S 65.473087°
E100.294190°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
S 65.474227°
E100.291443°		 ← 126.78 m →
16 074 m²		 S 65.474227°
E100.294190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778591156005859 y=0.742900848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778591156005859 × 217)
    floor (0.778591156005859 × 131072)
    floor (102051.5)     		tx = 102051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742900848388672 × 217)
    floor (0.742900848388672 × 131072)
    floor (97373.5)     		ty = 97373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102051 / 97373 ti = "17/102051/97373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102051/97373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102051 ÷ 217
    102051 ÷ 131072     		x = 0.778587341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97373 ÷ 217
    97373 ÷ 131072     		y = 0.742897033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778587341308594 × 2 - 1) × π
    0.557174682617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.75041589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742897033691406 × 2 - 1) × π
    -0.485794067382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.52616707320373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75041589} λ = 1.75041589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52616707320373))-π/2
    2×atan(0.217367225310013)-π/2
    2×0.214037691010267-π/2
    0.428075382020533-1.57079632675     		φ = -1.14272094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75041589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.291443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14272094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.473087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102051 KachelY 97373 1.75041589 -1.14272094 100.291443 -65.473087
    Oben rechts KachelX + 1 102052 KachelY 97373 1.75046383 -1.14272094 100.294190 -65.473087
    Unten links KachelX 102051 KachelY + 1 97374 1.75041589 -1.14274084 100.291443 -65.474227
    Unten rechts KachelX + 1 102052 KachelY + 1 97374 1.75046383 -1.14274084 100.294190 -65.474227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14272094--1.14274084) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14272094--1.14274084) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75041589-1.75046383) × cos(-1.14272094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415120623951574 × 6371000     		do = 126.788523759588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75041589-1.75046383) × cos(-1.14274084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415102519518402 × 6371000     		du = 126.782994199689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14272094)-sin(-1.14274084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415120623951574-0.415102519518402)×R²
    abs(1.75046383-1.75041589)×1.8104433172017e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8104433172017e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8104433172017e-05×40589641000000     		ar = 16074.2662027103m²