Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10205 / 2165
↖ ↑ ↗
← N 78.677557°
E 44.230957°		 ← 479.69 m → N 78.677557°
E 44.252930°		 →
↑
479.74 m
↓
↑
479.74 m
↓
N 78.673242°
E 44.230957°		 ← 479.87 m →
230 168 m²		 N 78.673242°
E 44.252930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622894287109375 y=0.132171630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622894287109375 × 214)
    floor (0.622894287109375 × 16384)
    floor (10205.5)     		tx = 10205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132171630859375 × 214)
    floor (0.132171630859375 × 16384)
    floor (2165.5)     		ty = 2165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10205 / 2165 ti = "14/10205/2165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10205/2165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10205 ÷ 214
    10205 ÷ 16384     		x = 0.62286376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2165 ÷ 214
    2165 ÷ 16384     		y = 0.13214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62286376953125 × 2 - 1) × π
    0.2457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77197583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13214111328125 × 2 - 1) × π
    0.7357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31132555208063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77197583} λ = 0.77197583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31132555208063))-π/2
    2×atan(10.0877876843151)-π/2
    2×1.47198936935773-π/2
    2.94397873871546-1.57079632675     		φ = 1.37318241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77197583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.230957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37318241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.677557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10205 KachelY 2165 0.77197583 1.37318241 44.230957 78.677557
    Oben rechts KachelX + 1 10206 KachelY 2165 0.77235933 1.37318241 44.252930 78.677557
    Unten links KachelX 10205 KachelY + 1 2166 0.77197583 1.37310711 44.230957 78.673242
    Unten rechts KachelX + 1 10206 KachelY + 1 2166 0.77235933 1.37310711 44.252930 78.673242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37318241-1.37310711) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dl = 479.736300000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37318241-1.37310711) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dr = 479.736300000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77197583-0.77235933) × cos(1.37318241) × R
    0.000383499999999981 × 0.196330247061783 × 6371000     		do = 479.68947154572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77197583-0.77235933) × cos(1.37310711) × R
    0.000383499999999981 × 0.196404081003632 × 6371000     		du = 479.869868428408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37318241)-sin(1.37310711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196330247061783-0.196404081003632)×R²
    abs(0.77235933-0.77197583)×7.38339418484002e-05×R²
    0.000383499999999981×7.38339418484002e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.38339418484002e-05×40589641000000     		ar = 230167.72380389m²