Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102048 / 96224
↖ ↑ ↗
← S 64.129783°
E100.283203°		 ← 133.27 m → S 64.129783°
E100.285950°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
S 64.130982°
E100.283203°		 ← 133.26 m →
17 762 m²		 S 64.130982°
E100.285950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778568267822266 y=0.734134674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778568267822266 × 217)
    floor (0.778568267822266 × 131072)
    floor (102048.5)     		tx = 102048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734134674072266 × 217)
    floor (0.734134674072266 × 131072)
    floor (96224.5)     		ty = 96224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102048 / 96224 ti = "17/102048/96224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102048/96224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102048 ÷ 217
    102048 ÷ 131072     		x = 0.778564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96224 ÷ 217
    96224 ÷ 131072     		y = 0.734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778564453125 × 2 - 1) × π
    0.55712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.75027208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75027208} λ = 1.75027208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47108757554028))-π/2
    2×atan(0.229675559783959)-π/2
    2×0.22576022653395-π/2
    0.451520453067901-1.57079632675     		φ = -1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75027208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102048 KachelY 96224 1.75027208 -1.11927587 100.283203 -64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 102049 KachelY 96224 1.75032002 -1.11927587 100.285950 -64.129783
    Unten links KachelX 102048 KachelY + 1 96225 1.75027208 -1.11929679 100.283203 -64.130982
    Unten rechts KachelX + 1 102049 KachelY + 1 96225 1.75032002 -1.11929679 100.285950 -64.130982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11927587--1.11929679) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dl = 133.281319999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11927587--1.11929679) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dr = 133.281319999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75027208-1.75032002) × cos(-1.11927587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 133.267672014959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75027208-1.75032002) × cos(-1.11929679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43631529813307 × 6371000     		du = 133.261922805526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11927587)-sin(-1.11929679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.43631529813307)×R²
    abs(1.75032002-1.75027208)×1.88235917264468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88235917264468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88235917264468e-05×40589641000000     		ar = 17761.7081088302m²