Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102046 / 97691
↖ ↑ ↗
← S 65.833154°
E100.277710°		 ← 125.01 m → S 65.833154°
E100.280456°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.834278°
E100.277710°		 ← 125.01 m →
15 626 m²		 S 65.834278°
E100.280456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778553009033203 y=0.745326995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778553009033203 × 217)
    floor (0.778553009033203 × 131072)
    floor (102046.5)     		tx = 102046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745326995849609 × 217)
    floor (0.745326995849609 × 131072)
    floor (97691.5)     		ty = 97691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102046 / 97691 ti = "17/102046/97691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102046/97691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102046 ÷ 217
    102046 ÷ 131072     		x = 0.778549194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97691 ÷ 217
    97691 ÷ 131072     		y = 0.745323181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778549194335938 × 2 - 1) × π
    0.557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75017621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745323181152344 × 2 - 1) × π
    -0.490646362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54141100728291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75017621} λ = 1.75017621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54141100728291))-π/2
    2×atan(0.21407882144133)-π/2
    2×0.210895515096352-π/2
    0.421791030192703-1.57079632675     		φ = -1.14900530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75017621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.277710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14900530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.833154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102046 KachelY 97691 1.75017621 -1.14900530 100.277710 -65.833154
    Oben rechts KachelX + 1 102047 KachelY 97691 1.75022414 -1.14900530 100.280456 -65.833154
    Unten links KachelX 102046 KachelY + 1 97692 1.75017621 -1.14902492 100.277710 -65.834278
    Unten rechts KachelX + 1 102047 KachelY + 1 97692 1.75022414 -1.14902492 100.280456 -65.834278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14900530--1.14902492) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14900530--1.14902492) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75017621-1.75022414) × cos(-1.14900530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409395164941356 × 6371000     		do = 125.013738638754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75017621-1.75022414) × cos(-1.14902492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.409377264414956 × 6371000     		du = 125.008272497674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14900530)-sin(-1.14902492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409395164941356-0.409377264414956)×R²
    abs(1.75022414-1.75017621)×1.79005263991061e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79005263991061e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79005263991061e-05×40589641000000     		ar = 15626.253185876m²