Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102046 / 97562
↖ ↑ ↗
← S 65.687692°
E100.277710°		 ← 125.72 m → S 65.687692°
E100.280456°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.688823°
E100.277710°		 ← 125.72 m →
15 811 m²		 S 65.688823°
E100.280456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778553009033203 y=0.744342803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778553009033203 × 217)
    floor (0.778553009033203 × 131072)
    floor (102046.5)     		tx = 102046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744342803955078 × 217)
    floor (0.744342803955078 × 131072)
    floor (97562.5)     		ty = 97562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102046 / 97562 ti = "17/102046/97562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102046/97562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102046 ÷ 217
    102046 ÷ 131072     		x = 0.778549194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97562 ÷ 217
    97562 ÷ 131072     		y = 0.744338989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778549194335938 × 2 - 1) × π
    0.557098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.75017621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.488677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53522714723192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75017621} λ = 1.75017621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53522714723192))-π/2
    2×atan(0.215406756563782)-π/2
    2×0.212164912483244-π/2
    0.424329824966488-1.57079632675     		φ = -1.14646650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75017621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.277710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14646650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.687692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102046 KachelY 97562 1.75017621 -1.14646650 100.277710 -65.687692
    Oben rechts KachelX + 1 102047 KachelY 97562 1.75022414 -1.14646650 100.280456 -65.687692
    Unten links KachelX 102046 KachelY + 1 97563 1.75017621 -1.14648624 100.277710 -65.688823
    Unten rechts KachelX + 1 102047 KachelY + 1 97563 1.75022414 -1.14648624 100.280456 -65.688823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14646650--1.14648624) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14646650--1.14648624) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75017621-1.75022414) × cos(-1.14646650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41171013544824 × 6371000     		do = 125.720642732126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75017621-1.75022414) × cos(-1.14648624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411692146012795 × 6371000     		du = 125.7151494416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14646650)-sin(-1.14648624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41171013544824-0.411692146012795)×R²
    abs(1.75022414-1.75017621)×1.79894354453425e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79894354453425e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79894354453425e-05×40589641000000     		ar = 15810.7276538391m²