Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102044 / 99749
↖ ↑ ↗
← S 68.045596°
E100.272217°		 ← 114.19 m → S 68.045596°
E100.274963°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
S 68.046623°
E100.272217°		 ← 114.18 m →
13 044 m²		 S 68.046623°
E100.274963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778537750244141 y=0.761028289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778537750244141 × 217)
    floor (0.778537750244141 × 131072)
    floor (102044.5)     		tx = 102044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761028289794922 × 217)
    floor (0.761028289794922 × 131072)
    floor (99749.5)     		ty = 99749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102044 / 99749 ti = "17/102044/99749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102044/99749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102044 ÷ 217
    102044 ÷ 131072     		x = 0.778533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99749 ÷ 217
    99749 ÷ 131072     		y = 0.761024475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778533935546875 × 2 - 1) × π
    0.55706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.75008033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761024475097656 × 2 - 1) × π
    -0.522048950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64006514670098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.75008033} λ = 1.75008033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64006514670098))-π/2
    2×atan(0.193967405542706)-π/2
    2×0.1915883163965-π/2
    0.383176632793-1.57079632675     		φ = -1.18761969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.75008033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18761969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.045596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102044 KachelY 99749 1.75008033 -1.18761969 100.272217 -68.045596
    Oben rechts KachelX + 1 102045 KachelY 99749 1.75012827 -1.18761969 100.274963 -68.045596
    Unten links KachelX 102044 KachelY + 1 99750 1.75008033 -1.18763762 100.272217 -68.046623
    Unten rechts KachelX + 1 102045 KachelY + 1 99750 1.75012827 -1.18763762 100.274963 -68.046623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18761969--1.18763762) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18761969--1.18763762) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.75008033-1.75012827) × cos(-1.18761969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373868623221397 × 6371000     		do = 114.189100910102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.75008033-1.75012827) × cos(-1.18763762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373851993414916 × 6371000     		du = 114.184021739151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18761969)-sin(-1.18763762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373868623221397-0.373851993414916)×R²
    abs(1.75012827-1.75008033)×1.66298064812054e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66298064812054e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66298064812054e-05×40589641000000     		ar = 13043.7626992728m²