Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102042 / 96246
↖ ↑ ↗
← S 64.156137°
E100.266724°		 ← 133.11 m → S 64.156137°
E100.269470°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
S 64.157334°
E100.266724°		 ← 133.11 m →
17 716 m²		 S 64.157334°
E100.269470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778522491455078 y=0.734302520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778522491455078 × 217)
    floor (0.778522491455078 × 131072)
    floor (102042.5)     		tx = 102042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734302520751953 × 217)
    floor (0.734302520751953 × 131072)
    floor (96246.5)     		ty = 96246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102042 / 96246 ti = "17/102042/96246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102042/96246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102042 ÷ 217
    102042 ÷ 131072     		x = 0.778518676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96246 ÷ 217
    96246 ÷ 131072     		y = 0.734298706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778518676757812 × 2 - 1) × π
    0.557037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74998446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734298706054688 × 2 - 1) × π
    -0.468597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.47214218733192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74998446} λ = 1.74998446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47214218733192))-π/2
    2×atan(0.229433468908743)-π/2
    2×0.225530254119279-π/2
    0.451060508238558-1.57079632675     		φ = -1.11973582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74998446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.266724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11973582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.156137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102042 KachelY 96246 1.74998446 -1.11973582 100.266724 -64.156137
    Oben rechts KachelX + 1 102043 KachelY 96246 1.75003239 -1.11973582 100.269470 -64.156137
    Unten links KachelX 102042 KachelY + 1 96247 1.74998446 -1.11975671 100.266724 -64.157334
    Unten rechts KachelX + 1 102043 KachelY + 1 96247 1.75003239 -1.11975671 100.269470 -64.157334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11973582--1.11975671) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11973582--1.11975671) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74998446-1.75003239) × cos(-1.11973582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.435920219605388 × 6371000     		do = 133.113483176829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74998446-1.75003239) × cos(-1.11975671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.435901418817102 × 6371000     		du = 133.107742129952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11973582)-sin(-1.11975671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435920219605388-0.435901418817102)×R²
    abs(1.75003239-1.74998446)×1.88007882861996e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88007882861996e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88007882861996e-05×40589641000000     		ar = 17715.7167299327m²