Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102039 / 96463
↖ ↑ ↗
← S 64.414735°
E100.258484°		 ← 131.87 m → S 64.414735°
E100.261230°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.415921°
E100.258484°		 ← 131.87 m →
17 391 m²		 S 64.415921°
E100.261230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778499603271484 y=0.735958099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778499603271484 × 217)
    floor (0.778499603271484 × 131072)
    floor (102039.5)     		tx = 102039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735958099365234 × 217)
    floor (0.735958099365234 × 131072)
    floor (96463.5)     		ty = 96463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102039 / 96463 ti = "17/102039/96463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102039/96463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102039 ÷ 217
    102039 ÷ 131072     		x = 0.778495788574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96463 ÷ 217
    96463 ÷ 131072     		y = 0.735954284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778495788574219 × 2 - 1) × π
    0.556991577148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74984065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735954284667969 × 2 - 1) × π
    -0.471908569335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.48254449454948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74984065} λ = 1.74984065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48254449454948))-π/2
    2×atan(0.227059201816539)-π/2
    2×0.223273553815466-π/2
    0.446547107630932-1.57079632675     		φ = -1.12424922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74984065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.258484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12424922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.414735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102039 KachelY 96463 1.74984065 -1.12424922 100.258484 -64.414735
    Oben rechts KachelX + 1 102040 KachelY 96463 1.74988858 -1.12424922 100.261230 -64.414735
    Unten links KachelX 102039 KachelY + 1 96464 1.74984065 -1.12426992 100.258484 -64.415921
    Unten rechts KachelX + 1 102040 KachelY + 1 96464 1.74988858 -1.12426992 100.261230 -64.415921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12424922--1.12426992) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dl = 131.879699999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12424922--1.12426992) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dr = 131.879699999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74984065-1.74988858) × cos(-1.12424922) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.431853799678566 × 6371000     		do = 131.87175293253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74984065-1.74988858) × cos(-1.12426992) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.431835129353087 × 6371000     		du = 131.866051724041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12424922)-sin(-1.12426992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431853799678566-0.431835129353087)×R²
    abs(1.74988858-1.74984065)×1.86703254785314e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.86703254785314e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.86703254785314e-05×40589641000000     		ar = 17390.831278754m²