Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102033 / 96528
↖ ↑ ↗
← S 64.491725°
E100.242005°		 ← 131.50 m → S 64.491725°
E100.244751°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
S 64.492908°
E100.242005°		 ← 131.50 m →
17 300 m²		 S 64.492908°
E100.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778453826904297 y=0.736454010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778453826904297 × 217)
    floor (0.778453826904297 × 131072)
    floor (102033.5)     		tx = 102033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736454010009766 × 217)
    floor (0.736454010009766 × 131072)
    floor (96528.5)     		ty = 96528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102033 / 96528 ti = "17/102033/96528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102033/96528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102033 ÷ 217
    102033 ÷ 131072     		x = 0.778450012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96528 ÷ 217
    96528 ÷ 131072     		y = 0.7364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778450012207031 × 2 - 1) × π
    0.556900024414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.74955303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    -0.472900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48566039302478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74955303} λ = 1.74955303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48566039302478))-π/2
    2×atan(0.2263528094907)-π/2
    2×0.222601692249154-π/2
    0.445203384498307-1.57079632675     		φ = -1.12559294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74955303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.242005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12559294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.491725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102033 KachelY 96528 1.74955303 -1.12559294 100.242005 -64.491725
    Oben rechts KachelX + 1 102034 KachelY 96528 1.74960096 -1.12559294 100.244751 -64.491725
    Unten links KachelX 102033 KachelY + 1 96529 1.74955303 -1.12561359 100.242005 -64.492908
    Unten rechts KachelX + 1 102034 KachelY + 1 96529 1.74960096 -1.12561359 100.244751 -64.492908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12559294--1.12561359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12559294--1.12561359) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74955303-1.74960096) × cos(-1.12559294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430641450486717 × 6371000     		do = 131.501547522849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74955303-1.74960096) × cos(-1.12561359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430622813292942 × 6371000     		du = 131.495856431524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12559294)-sin(-1.12561359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430641450486717-0.430622813292942)×R²
    abs(1.74960096-1.74955303)×1.86371937750396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86371937750396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86371937750396e-05×40589641000000     		ar = 17300.1204563088m²