Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102030 / 96469
↖ ↑ ↗
← S 64.421851°
E100.233764°		 ← 131.87 m → S 64.421851°
E100.236511°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.423037°
E100.233764°		 ← 131.86 m →
17 390 m²		 S 64.423037°
E100.236511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778430938720703 y=0.736003875732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778430938720703 × 217)
    floor (0.778430938720703 × 131072)
    floor (102030.5)     		tx = 102030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736003875732422 × 217)
    floor (0.736003875732422 × 131072)
    floor (96469.5)     		ty = 96469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102030 / 96469 ti = "17/102030/96469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102030/96469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102030 ÷ 217
    102030 ÷ 131072     		x = 0.778427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96469 ÷ 217
    96469 ÷ 131072     		y = 0.736000061035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    0.556854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74940921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736000061035156 × 2 - 1) × π
    -0.472000122070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.4828321159472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74940921} λ = 1.74940921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4828321159472))-π/2
    2×atan(0.226993904122504)-π/2
    2×0.223211456673695-π/2
    0.446422913347391-1.57079632675     		φ = -1.12437341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74940921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.233764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12437341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.421851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102030 KachelY 96469 1.74940921 -1.12437341 100.233764 -64.421851
    Oben rechts KachelX + 1 102031 KachelY 96469 1.74945715 -1.12437341 100.236511 -64.421851
    Unten links KachelX 102030 KachelY + 1 96470 1.74940921 -1.12439411 100.233764 -64.423037
    Unten rechts KachelX + 1 102031 KachelY + 1 96470 1.74945715 -1.12439411 100.236511 -64.423037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12437341--1.12439411) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dl = 131.879699999195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12437341--1.12439411) × R
    2.06999999998736e-05 × 6371000     		dr = 131.879699999195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74940921-1.74945715) × cos(-1.12437341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431741783970271 × 6371000     		do = 131.865053857954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74940921-1.74945715) × cos(-1.12439411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43172311253478 × 6371000     		du = 131.859351120952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12437341)-sin(-1.12439411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431741783970271-0.43172311253478)×R²
    abs(1.74945715-1.74940921)×1.86714354913353e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86714354913353e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86714354913353e-05×40589641000000     		ar = 17389.947706025m²