Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102030 / 96269
↖ ↑ ↗
← S 64.183660°
E100.233764°		 ← 133.01 m → S 64.183660°
E100.236511°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.184857°
E100.233764°		 ← 133 m →
17 693 m²		 S 64.184857°
E100.236511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778430938720703 y=0.734477996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778430938720703 × 217)
    floor (0.778430938720703 × 131072)
    floor (102030.5)     		tx = 102030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734477996826172 × 217)
    floor (0.734477996826172 × 131072)
    floor (96269.5)     		ty = 96269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102030 / 96269 ti = "17/102030/96269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102030/96269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102030 ÷ 217
    102030 ÷ 131072     		x = 0.778427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96269 ÷ 217
    96269 ÷ 131072     		y = 0.734474182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778427124023438 × 2 - 1) × π
    0.556854248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74940921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734474182128906 × 2 - 1) × π
    -0.468948364257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47324473602319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74940921} λ = 1.74940921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47324473602319))-π/2
    2×atan(0.229180646737854)-π/2
    2×0.225290061682496-π/2
    0.450580123364993-1.57079632675     		φ = -1.12021620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74940921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.233764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12021620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.183660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102030 KachelY 96269 1.74940921 -1.12021620 100.233764 -64.183660
    Oben rechts KachelX + 1 102031 KachelY 96269 1.74945715 -1.12021620 100.236511 -64.183660
    Unten links KachelX 102030 KachelY + 1 96270 1.74940921 -1.12023708 100.233764 -64.184857
    Unten rechts KachelX + 1 102031 KachelY + 1 96270 1.74945715 -1.12023708 100.236511 -64.184857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12021620--1.12023708) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12021620--1.12023708) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74940921-1.74945715) × cos(-1.12021620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435487834380199 × 6371000     		do = 133.009194076483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74940921-1.74945715) × cos(-1.12023708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435469038221694 × 6371000     		du = 133.003453245862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12021620)-sin(-1.12023708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435487834380199-0.435469038221694)×R²
    abs(1.74945715-1.74940921)×1.879615850503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.879615850503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.879615850503e-05×40589641000000     		ar = 17693.3630549503m²