Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10203 / 2458
↖ ↑ ↗
← N 77.341443°
E 44.187012°		 ← 535.42 m → N 77.341443°
E 44.208985°		 →
↑
535.55 m
↓
↑
535.55 m
↓
N 77.336627°
E 44.187012°		 ← 535.62 m →
286 797 m²		 N 77.336627°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622772216796875 y=0.150054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622772216796875 × 214)
    floor (0.622772216796875 × 16384)
    floor (10203.5)     		tx = 10203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150054931640625 × 214)
    floor (0.150054931640625 × 16384)
    floor (2458.5)     		ty = 2458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10203 / 2458 ti = "14/10203/2458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10203/2458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10203 ÷ 214
    10203 ÷ 16384     		x = 0.62274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2458 ÷ 214
    2458 ÷ 16384     		y = 0.1500244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1500244140625 × 2 - 1) × π
    0.699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19896145937122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77120884} λ = 0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19896145937122))-π/2
    2×atan(9.01564552159443)-π/2
    2×1.46032957758571-π/2
    2.92065915517142-1.57079632675     		φ = 1.34986283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34986283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.341443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10203 KachelY 2458 0.77120884 1.34986283 44.187012 77.341443
    Oben rechts KachelX + 1 10204 KachelY 2458 0.77159234 1.34986283 44.208985 77.341443
    Unten links KachelX 10203 KachelY + 1 2459 0.77120884 1.34977877 44.187012 77.336627
    Unten rechts KachelX + 1 10204 KachelY + 1 2459 0.77159234 1.34977877 44.208985 77.336627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34986283-1.34977877) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dl = 535.546260000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34986283-1.34977877) × R
    8.40600000000524e-05 × 6371000     		dr = 535.546260000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(1.34986283) × R
    0.000383499999999981 × 0.219140525005243 × 6371000     		do = 535.421333223996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(1.34977877) × R
    0.000383499999999981 × 0.219222541010342 × 6371000     		du = 535.621721165911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34986283)-sin(1.34977877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219140525005243-0.219222541010342)×R²
    abs(0.77159234-0.77120884)×8.20160050992724e-05×R²
    0.000383499999999981×8.20160050992724e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.20160050992724e-05×40589641000000     		ar = 286796.551207501m²