Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10203 / 2163
↖ ↑ ↗
← N 78.686181°
E 44.187012°		 ← 479.33 m → N 78.686181°
E 44.208985°		 →
↑
479.42 m
↓
↑
479.42 m
↓
N 78.681870°
E 44.187012°		 ← 479.51 m →
229 842 m²		 N 78.681870°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622772216796875 y=0.132049560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622772216796875 × 214)
    floor (0.622772216796875 × 16384)
    floor (10203.5)     		tx = 10203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132049560546875 × 214)
    floor (0.132049560546875 × 16384)
    floor (2163.5)     		ty = 2163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10203 / 2163 ti = "14/10203/2163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10203/2163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10203 ÷ 214
    10203 ÷ 16384     		x = 0.62274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2163 ÷ 214
    2163 ÷ 16384     		y = 0.13201904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13201904296875 × 2 - 1) × π
    0.7359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31209254247455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77120884} λ = 0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31209254247455))-π/2
    2×atan(10.0955278885166)-π/2
    2×1.47206463275853-π/2
    2.94412926551706-1.57079632675     		φ = 1.37333294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37333294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.686181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10203 KachelY 2163 0.77120884 1.37333294 44.187012 78.686181
    Oben rechts KachelX + 1 10204 KachelY 2163 0.77159234 1.37333294 44.208985 78.686181
    Unten links KachelX 10203 KachelY + 1 2164 0.77120884 1.37325769 44.187012 78.681870
    Unten rechts KachelX + 1 10204 KachelY + 1 2164 0.77159234 1.37325769 44.208985 78.681870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37333294-1.37325769) × R
    7.52500000000822e-05 × 6371000     		dl = 479.417750000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37333294-1.37325769) × R
    7.52500000000822e-05 × 6371000     		dr = 479.417750000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(1.37333294) × R
    0.000383499999999981 × 0.196182644478591 × 6371000     		do = 479.328837327662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(1.37325769) × R
    0.000383499999999981 × 0.196256431617777 × 6371000     		du = 479.509119858411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37333294)-sin(1.37325769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196182644478591-0.196256431617777)×R²
    abs(0.77159234-0.77120884)×7.37871391858491e-05×R²
    0.000383499999999981×7.37871391858491e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.37871391858491e-05×40589641000000     		ar = 229841.968133748m²