Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10203 / 14366
↖ ↑ ↗
← S 79.294479°
E 44.187012°		 ← 453.87 m → S 79.294479°
E 44.208985°		 →
↑
453.81 m
↓
↑
453.81 m
↓
S 79.298560°
E 44.187012°		 ← 453.70 m →
205 929 m²		 S 79.298560°
E 44.208985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622772216796875 y=0.876861572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622772216796875 × 214)
    floor (0.622772216796875 × 16384)
    floor (10203.5)     		tx = 10203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876861572265625 × 214)
    floor (0.876861572265625 × 16384)
    floor (14366.5)     		ty = 14366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10203 / 14366 ti = "14/10203/14366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10203/14366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10203 ÷ 214
    10203 ÷ 16384     		x = 0.62274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14366 ÷ 214
    14366 ÷ 16384     		y = 0.8768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62274169921875 × 2 - 1) × π
    0.2454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77120884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77120884} λ = 0.77120884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36769934603381))-π/2
    2×atan(0.0936960406687138)-π/2
    2×0.0934232916791461-π/2
    0.186846583358292-1.57079632675     		φ = -1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77120884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10203 KachelY 14366 0.77120884 -1.38394974 44.187012 -79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 10204 KachelY 14366 0.77159234 -1.38394974 44.208985 -79.294479
    Unten links KachelX 10203 KachelY + 1 14367 0.77120884 -1.38402097 44.187012 -79.298560
    Unten rechts KachelX + 1 10204 KachelY + 1 14367 0.77159234 -1.38402097 44.208985 -79.298560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38394974--1.38402097) × R
    7.12299999998667e-05 × 6371000     		dl = 453.806329999151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38394974--1.38402097) × R
    7.12299999998667e-05 × 6371000     		dr = 453.806329999151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(-1.38394974) × R
    0.000383499999999981 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 453.866580598036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77120884-0.77159234) × cos(-1.38402097) × R
    0.000383499999999981 × 0.185691305273135 × 6371000     		du = 453.695573810766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38394974)-sin(-1.38402097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185691305273135)×R²
    abs(0.77159234-0.77120884)×6.9990706041051e-05×R²
    0.000383499999999981×6.9990706041051e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.9990706041051e-05×40589641000000     		ar = 205928.72535633m²