Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102028 / 96142
↖ ↑ ↗
← S 64.031338°
E100.228271°		 ← 133.74 m → S 64.031338°
E100.231018°		 →
↑
133.73 m
↓
↑
133.73 m
↓
S 64.032541°
E100.228271°		 ← 133.73 m →
17 884 m²		 S 64.032541°
E100.231018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778415679931641 y=0.733509063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778415679931641 × 217)
    floor (0.778415679931641 × 131072)
    floor (102028.5)     		tx = 102028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733509063720703 × 217)
    floor (0.733509063720703 × 131072)
    floor (96142.5)     		ty = 96142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102028 / 96142 ti = "17/102028/96142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102028/96142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102028 ÷ 217
    102028 ÷ 131072     		x = 0.778411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96142 ÷ 217
    96142 ÷ 131072     		y = 0.733505249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778411865234375 × 2 - 1) × π
    0.55682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74931334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733505249023438 × 2 - 1) × π
    -0.467010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46715674977144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74931334} λ = 1.74931334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46715674977144))-π/2
    2×atan(0.23058015112354)-π/2
    2×0.226619321179567-π/2
    0.453238642359135-1.57079632675     		φ = -1.11755768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74931334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.228271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11755768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.031338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102028 KachelY 96142 1.74931334 -1.11755768 100.228271 -64.031338
    Oben rechts KachelX + 1 102029 KachelY 96142 1.74936128 -1.11755768 100.231018 -64.031338
    Unten links KachelX 102028 KachelY + 1 96143 1.74931334 -1.11757867 100.228271 -64.032541
    Unten rechts KachelX + 1 102029 KachelY + 1 96143 1.74936128 -1.11757867 100.231018 -64.032541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11755768--1.11757867) × R
    2.09900000001095e-05 × 6371000     		dl = 133.727290000698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11755768--1.11757867) × R
    2.09900000001095e-05 × 6371000     		dr = 133.727290000698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74931334-1.74936128) × cos(-1.11755768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437879477996823 × 6371000     		do = 133.739663597906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74931334-1.74936128) × cos(-1.11757867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437860607183362 × 6371000     		du = 133.73389996574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11755768)-sin(-1.11757867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437879477996823-0.437860607183362)×R²
    abs(1.74936128-1.74931334)×1.88708134604698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88708134604698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88708134604698e-05×40589641000000     		ar = 17884.2574016752m²