Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102026 / 97384
↖ ↑ ↗
← S 65.485626°
E100.222778°		 ← 126.70 m → S 65.485626°
E100.225525°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.486766°
E100.222778°		 ← 126.70 m →
16 055 m²		 S 65.486766°
E100.225525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778400421142578 y=0.742984771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778400421142578 × 217)
    floor (0.778400421142578 × 131072)
    floor (102026.5)     		tx = 102026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742984771728516 × 217)
    floor (0.742984771728516 × 131072)
    floor (97384.5)     		ty = 97384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102026 / 97384 ti = "17/102026/97384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102026/97384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102026 ÷ 217
    102026 ÷ 131072     		x = 0.778396606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97384 ÷ 217
    97384 ÷ 131072     		y = 0.74298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778396606445312 × 2 - 1) × π
    0.556793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74921747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52669437909955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74921747} λ = 1.74921747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52669437909955))-π/2
    2×atan(0.21725263650488)-π/2
    2×0.213928269484271-π/2
    0.427856538968543-1.57079632675     		φ = -1.14293979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74921747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.222778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14293979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.485626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102026 KachelY 97384 1.74921747 -1.14293979 100.222778 -65.485626
    Oben rechts KachelX + 1 102027 KachelY 97384 1.74926540 -1.14293979 100.225525 -65.485626
    Unten links KachelX 102026 KachelY + 1 97385 1.74921747 -1.14295968 100.222778 -65.486766
    Unten rechts KachelX + 1 102027 KachelY + 1 97385 1.74926540 -1.14295968 100.225525 -65.486766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14293979--1.14295968) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14293979--1.14295968) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74921747-1.74926540) × cos(-1.14293979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414921511639565 × 6371000     		do = 126.701275085004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74921747-1.74926540) × cos(-1.14295968) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414903414497623 × 6371000     		du = 126.695748905003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14293979)-sin(-1.14295968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414921511639565-0.414903414497623)×R²
    abs(1.74926540-1.74921747)×1.80971419423415e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80971419423415e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80971419423415e-05×40589641000000     		ar = 16055.1328147329m²