Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102025 / 96263
↖ ↑ ↗
← S 64.176483°
E100.220032°		 ← 133.04 m → S 64.176483°
E100.222778°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.177679°
E100.220032°		 ← 133.04 m →
17 698 m²		 S 64.177679°
E100.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778392791748047 y=0.734432220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778392791748047 × 217)
    floor (0.778392791748047 × 131072)
    floor (102025.5)     		tx = 102025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734432220458984 × 217)
    floor (0.734432220458984 × 131072)
    floor (96263.5)     		ty = 96263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102025 / 96263 ti = "17/102025/96263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102025/96263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102025 ÷ 217
    102025 ÷ 131072     		x = 0.778388977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96263 ÷ 217
    96263 ÷ 131072     		y = 0.734428405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778388977050781 × 2 - 1) × π
    0.556777954101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.74916953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734428405761719 × 2 - 1) × π
    -0.468856811523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47295711462547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74916953} λ = 1.74916953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47295711462547))-π/2
    2×atan(0.229246573476315)-π/2
    2×0.225352697600043-π/2
    0.450705395200085-1.57079632675     		φ = -1.12009093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74916953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.220032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12009093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.176483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102025 KachelY 96263 1.74916953 -1.12009093 100.220032 -64.176483
    Oben rechts KachelX + 1 102026 KachelY 96263 1.74921747 -1.12009093 100.222778 -64.176483
    Unten links KachelX 102025 KachelY + 1 96264 1.74916953 -1.12011181 100.220032 -64.177679
    Unten rechts KachelX + 1 102026 KachelY + 1 96264 1.74921747 -1.12011181 100.222778 -64.177679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12009093--1.12011181) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12009093--1.12011181) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74916953-1.74921747) × cos(-1.12009093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435600598342449 × 6371000     		do = 133.043635093098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74916953-1.74921747) × cos(-1.12011181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435581803323145 × 6371000     		du = 133.037894610419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12009093)-sin(-1.12011181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435600598342449-0.435581803323145)×R²
    abs(1.74921747-1.74916953)×1.87950193037412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87950193037412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87950193037412e-05×40589641000000     		ar = 17697.9446455949m²