Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102024 / 97656
↖ ↑ ↗
← S 65.793769°
E100.217285°		 ← 125.23 m → S 65.793769°
E100.220032°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.794895°
E100.217285°		 ← 125.23 m →
15 685 m²		 S 65.794895°
E100.220032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778385162353516 y=0.745059967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778385162353516 × 217)
    floor (0.778385162353516 × 131072)
    floor (102024.5)     		tx = 102024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745059967041016 × 217)
    floor (0.745059967041016 × 131072)
    floor (97656.5)     		ty = 97656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102024 / 97656 ti = "17/102024/97656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102024/97656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102024 ÷ 217
    102024 ÷ 131072     		x = 0.77838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97656 ÷ 217
    97656 ÷ 131072     		y = 0.74505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77838134765625 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.74912159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.4901123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5397332157962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74912159} λ = 1.74912159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5397332157962))-π/2
    2×atan(0.21443830254827)-π/2
    2×0.211239217926729-π/2
    0.422478435853458-1.57079632675     		φ = -1.14831789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74912159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.217285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14831789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.793769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102024 KachelY 97656 1.74912159 -1.14831789 100.217285 -65.793769
    Oben rechts KachelX + 1 102025 KachelY 97656 1.74916953 -1.14831789 100.220032 -65.793769
    Unten links KachelX 102024 KachelY + 1 97657 1.74912159 -1.14833755 100.217285 -65.794895
    Unten rechts KachelX + 1 102025 KachelY + 1 97657 1.74916953 -1.14833755 100.220032 -65.794895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14831789--1.14833755) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dl = 125.253859999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14831789--1.14833755) × R
    1.96599999999769e-05 × 6371000     		dr = 125.253859999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74912159-1.74916953) × cos(-1.14831789) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.4100222316054 × 6371000     		do = 125.231343505029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74912159-1.74916953) × cos(-1.14833755) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.410004300121272 × 6371000     		du = 125.225866768219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14831789)-sin(-1.14833755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4100222316054-0.410004300121272)×R²
    abs(1.74916953-1.74912159)×1.7931484128042e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.7931484128042e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.7931484128042e-05×40589641000000     		ar = 15685.3661763745m²