Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102023 / 96394
↖ ↑ ↗
← S 64.332771°
E100.214539°		 ← 132.27 m → S 64.332771°
E100.217285°		 →
↑
132.26 m
↓
↑
132.26 m
↓
S 64.333960°
E100.214539°		 ← 132.26 m →
17 493 m²		 S 64.333960°
E100.217285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778377532958984 y=0.735431671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778377532958984 × 217)
    floor (0.778377532958984 × 131072)
    floor (102023.5)     		tx = 102023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735431671142578 × 217)
    floor (0.735431671142578 × 131072)
    floor (96394.5)     		ty = 96394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102023 / 96394 ti = "17/102023/96394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102023/96394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102023 ÷ 217
    102023 ÷ 131072     		x = 0.778373718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96394 ÷ 217
    96394 ÷ 131072     		y = 0.735427856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778373718261719 × 2 - 1) × π
    0.556747436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74907366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735427856445312 × 2 - 1) × π
    -0.470855712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47923684847569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74907366} λ = 1.74907366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47923684847569))-π/2
    2×atan(0.227811476737682)-π/2
    2×0.223988829750288-π/2
    0.447977659500577-1.57079632675     		φ = -1.12281867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74907366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.214539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12281867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.332771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102023 KachelY 96394 1.74907366 -1.12281867 100.214539 -64.332771
    Oben rechts KachelX + 1 102024 KachelY 96394 1.74912159 -1.12281867 100.217285 -64.332771
    Unten links KachelX 102023 KachelY + 1 96395 1.74907366 -1.12283943 100.214539 -64.333960
    Unten rechts KachelX + 1 102024 KachelY + 1 96395 1.74912159 -1.12283943 100.217285 -64.333960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12281867--1.12283943) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dl = 132.261959999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12281867--1.12283943) × R
    2.0759999999953e-05 × 6371000     		dr = 132.261959999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74907366-1.74912159) × cos(-1.12281867) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.433143632797132 × 6371000     		do = 132.265618991975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74907366-1.74912159) × cos(-1.12283943) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.433124921198665 × 6371000     		du = 132.259905180283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12281867)-sin(-1.12283943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433143632797132-0.433124921198665)×R²
    abs(1.74912159-1.74907366)×1.87115984675579e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.87115984675579e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.87115984675579e-05×40589641000000     		ar = 17493.3321490287m²