Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102022 / 96393
↖ ↑ ↗
← S 64.331581°
E100.211792°		 ← 132.30 m → S 64.331581°
E100.214539°		 →
↑
132.33 m
↓
↑
132.33 m
↓
S 64.332771°
E100.211792°		 ← 132.29 m →
17 506 m²		 S 64.332771°
E100.214539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778369903564453 y=0.735424041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778369903564453 × 217)
    floor (0.778369903564453 × 131072)
    floor (102022.5)     		tx = 102022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735424041748047 × 217)
    floor (0.735424041748047 × 131072)
    floor (96393.5)     		ty = 96393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102022 / 96393 ti = "17/102022/96393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102022/96393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102022 ÷ 217
    102022 ÷ 131072     		x = 0.778366088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96393 ÷ 217
    96393 ÷ 131072     		y = 0.735420227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778366088867188 × 2 - 1) × π
    0.556732177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74902572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735420227050781 × 2 - 1) × π
    -0.470840454101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47918891157607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74902572} λ = 1.74902572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47918891157607))-π/2
    2×atan(0.227822397575328)-π/2
    2×0.223999211756054-π/2
    0.447998423512108-1.57079632675     		φ = -1.12279790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74902572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.211792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12279790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.331581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102022 KachelY 96393 1.74902572 -1.12279790 100.211792 -64.331581
    Oben rechts KachelX + 1 102023 KachelY 96393 1.74907366 -1.12279790 100.214539 -64.331581
    Unten links KachelX 102022 KachelY + 1 96394 1.74902572 -1.12281867 100.211792 -64.332771
    Unten rechts KachelX + 1 102023 KachelY + 1 96394 1.74907366 -1.12281867 100.214539 -64.332771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12279790--1.12281867) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dl = 132.325670000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12279790--1.12281867) × R
    2.07700000001143e-05 × 6371000     		dr = 132.325670000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74902572-1.74907366) × cos(-1.12279790) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.433162353222084 × 6371000     		do = 132.298932273522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74902572-1.74907366) × cos(-1.12281867) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.433143632797132 × 6371000     		du = 132.293214573878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12279790)-sin(-1.12281867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433162353222084-0.433143632797132)×R²
    abs(1.74907366-1.74902572)×1.87204249517126e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.87204249517126e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.87204249517126e-05×40589641000000     		ar = 17506.1665548766m²