Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102021 / 96133
↖ ↑ ↗
← S 64.020512°
E100.209045°		 ← 133.79 m → S 64.020512°
E100.211792°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
S 64.021716°
E100.209045°		 ← 133.79 m →
17 900 m²		 S 64.021716°
E100.211792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778362274169922 y=0.733440399169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778362274169922 × 217)
    floor (0.778362274169922 × 131072)
    floor (102021.5)     		tx = 102021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733440399169922 × 217)
    floor (0.733440399169922 × 131072)
    floor (96133.5)     		ty = 96133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102021 / 96133 ti = "17/102021/96133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102021/96133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102021 ÷ 217
    102021 ÷ 131072     		x = 0.778358459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96133 ÷ 217
    96133 ÷ 131072     		y = 0.733436584472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778358459472656 × 2 - 1) × π
    0.556716918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.74897778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733436584472656 × 2 - 1) × π
    -0.466873168945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.46672531767486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74897778} λ = 1.74897778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46672531767486))-π/2
    2×atan(0.230679652264018)-π/2
    2×0.226713797129869-π/2
    0.453427594259738-1.57079632675     		φ = -1.11736873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74897778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.209045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11736873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.020512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102021 KachelY 96133 1.74897778 -1.11736873 100.209045 -64.020512
    Oben rechts KachelX + 1 102022 KachelY 96133 1.74902572 -1.11736873 100.211792 -64.020512
    Unten links KachelX 102021 KachelY + 1 96134 1.74897778 -1.11738973 100.209045 -64.021716
    Unten rechts KachelX + 1 102022 KachelY + 1 96134 1.74902572 -1.11738973 100.211792 -64.021716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11736873--1.11738973) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dl = 133.791000000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11736873--1.11738973) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dr = 133.791000000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74897778-1.74902572) × cos(-1.11736873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438049342593562 × 6371000     		do = 133.791544618064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74897778-1.74902572) × cos(-1.11738973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.438030464527456 × 6371000     		du = 133.785778770754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11736873)-sin(-1.11738973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438049342593562-0.438030464527456)×R²
    abs(1.74902572-1.74897778)×1.88780661057319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88780661057319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88780661057319e-05×40589641000000     		ar = 17899.7188376559m²