Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102020 / 96383
↖ ↑ ↗
← S 64.319681°
E100.206299°		 ← 132.33 m → S 64.319681°
E100.209045°		 →
↑
132.39 m
↓
↑
132.39 m
↓
S 64.320872°
E100.206299°		 ← 132.32 m →
17 519 m²		 S 64.320872°
E100.209045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778354644775391 y=0.735347747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778354644775391 × 217)
    floor (0.778354644775391 × 131072)
    floor (102020.5)     		tx = 102020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735347747802734 × 217)
    floor (0.735347747802734 × 131072)
    floor (96383.5)     		ty = 96383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102020 / 96383 ti = "17/102020/96383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102020/96383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102020 ÷ 217
    102020 ÷ 131072     		x = 0.778350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96383 ÷ 217
    96383 ÷ 131072     		y = 0.735343933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    0.55670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74892985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735343933105469 × 2 - 1) × π
    -0.470687866210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.47870954257987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74892985} λ = 1.74892985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47870954257987))-π/2
    2×atan(0.227931634749731)-π/2
    2×0.224103056487939-π/2
    0.448206112975879-1.57079632675     		φ = -1.12259021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74892985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12259021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.319681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102020 KachelY 96383 1.74892985 -1.12259021 100.206299 -64.319681
    Oben rechts KachelX + 1 102021 KachelY 96383 1.74897778 -1.12259021 100.209045 -64.319681
    Unten links KachelX 102020 KachelY + 1 96384 1.74892985 -1.12261099 100.206299 -64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 102021 KachelY + 1 96384 1.74897778 -1.12261099 100.209045 -64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12259021--1.12261099) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dl = 132.389380000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12259021--1.12261099) × R
    2.07800000000535e-05 × 6371000     		dr = 132.389380000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74892985-1.74897778) × cos(-1.12259021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433349538180534 × 6371000     		do = 132.328494678451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74892985-1.74897778) × cos(-1.12261099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 132.322775990149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12259021)-sin(-1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433349538180534-0.433330810612138)×R²
    abs(1.74897778-1.74892985)×1.87275683959376e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87275683959376e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87275683959376e-05×40589641000000     		ar = 17518.5088208305m²