Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102015 / 96254
↖ ↑ ↗
← S 64.165713°
E100.192566°		 ← 133.10 m → S 64.165713°
E100.195313°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
S 64.166910°
E100.192566°		 ← 133.09 m →
17 713 m²		 S 64.166910°
E100.195313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778316497802734 y=0.734363555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778316497802734 × 217)
    floor (0.778316497802734 × 131072)
    floor (102015.5)     		tx = 102015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734363555908203 × 217)
    floor (0.734363555908203 × 131072)
    floor (96254.5)     		ty = 96254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102015 / 96254 ti = "17/102015/96254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102015/96254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102015 ÷ 217
    102015 ÷ 131072     		x = 0.778312683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96254 ÷ 217
    96254 ÷ 131072     		y = 0.734359741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778312683105469 × 2 - 1) × π
    0.556625366210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.74869016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734359741210938 × 2 - 1) × π
    -0.468719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47252568252888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74869016} λ = 1.74869016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47252568252888))-π/2
    2×atan(0.229345499144464)-π/2
    2×0.225446681887072-π/2
    0.450893363774145-1.57079632675     		φ = -1.11990296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74869016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.192566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11990296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.165713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102015 KachelY 96254 1.74869016 -1.11990296 100.192566 -64.165713
    Oben rechts KachelX + 1 102016 KachelY 96254 1.74873810 -1.11990296 100.195313 -64.165713
    Unten links KachelX 102015 KachelY + 1 96255 1.74869016 -1.11992385 100.192566 -64.166910
    Unten rechts KachelX + 1 102016 KachelY + 1 96255 1.74873810 -1.11992385 100.195313 -64.166910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11990296--1.11992385) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11990296--1.11992385) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74869016-1.74873810) × cos(-1.11990296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435769789972125 × 6371000     		do = 133.095310571794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74869016-1.74873810) × cos(-1.11992385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435750987662095 × 6371000     		du = 133.089567862339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11990296)-sin(-1.11992385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435769789972125-0.435750987662095)×R²
    abs(1.74873810-1.74869016)×1.88023100299861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88023100299861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88023100299861e-05×40589641000000     		ar = 17713.2980238383m²