Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102012 / 97405
↖ ↑ ↗
← S 65.509547°
E100.184326°		 ← 126.61 m → S 65.509547°
E100.187073°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.510686°
E100.184326°		 ← 126.61 m →
16 028 m²		 S 65.510686°
E100.187073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778293609619141 y=0.743144989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778293609619141 × 217)
    floor (0.778293609619141 × 131072)
    floor (102012.5)     		tx = 102012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743144989013672 × 217)
    floor (0.743144989013672 × 131072)
    floor (97405.5)     		ty = 97405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102012 / 97405 ti = "17/102012/97405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102012/97405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102012 ÷ 217
    102012 ÷ 131072     		x = 0.778289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97405 ÷ 217
    97405 ÷ 131072     		y = 0.743141174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778289794921875 × 2 - 1) × π
    0.55657958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74854635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743141174316406 × 2 - 1) × π
    -0.486282348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.52770105399157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74854635} λ = 1.74854635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52770105399157))-π/2
    2×atan(0.217034043774852)-π/2
    2×0.213719519570172-π/2
    0.427439039140343-1.57079632675     		φ = -1.14335729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74854635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14335729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.509547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102012 KachelY 97405 1.74854635 -1.14335729 100.184326 -65.509547
    Oben rechts KachelX + 1 102013 KachelY 97405 1.74859429 -1.14335729 100.187073 -65.509547
    Unten links KachelX 102012 KachelY + 1 97406 1.74854635 -1.14337716 100.184326 -65.510686
    Unten rechts KachelX + 1 102013 KachelY + 1 97406 1.74859429 -1.14337716 100.187073 -65.510686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14335729--1.14337716) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14335729--1.14337716) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74854635-1.74859429) × cos(-1.14335729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414541610104502 × 6371000     		do = 126.611678026876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74854635-1.74859429) × cos(-1.14337716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414523527719445 × 6371000     		du = 126.606155201039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14335729)-sin(-1.14337716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414541610104502-0.414523527719445)×R²
    abs(1.74859429-1.74854635)×1.80823850573497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80823850573497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80823850573497e-05×40589641000000     		ar = 16027.6468524951m²