Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102010 / 99026
↖ ↑ ↗
← S 67.291136°
E100.178833°		 ← 117.88 m → S 67.291136°
E100.181579°		 →
↑
117.86 m
↓
↑
117.86 m
↓
S 67.292196°
E100.178833°		 ← 117.88 m →
13 894 m²		 S 67.292196°
E100.181579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778278350830078 y=0.755512237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778278350830078 × 217)
    floor (0.778278350830078 × 131072)
    floor (102010.5)     		tx = 102010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755512237548828 × 217)
    floor (0.755512237548828 × 131072)
    floor (99026.5)     		ty = 99026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102010 / 99026 ti = "17/102010/99026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102010/99026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102010 ÷ 217
    102010 ÷ 131072     		x = 0.778274536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99026 ÷ 217
    99026 ÷ 131072     		y = 0.755508422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778274536132812 × 2 - 1) × π
    0.556549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74845048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755508422851562 × 2 - 1) × π
    -0.511016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60540676827568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74845048} λ = 1.74845048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60540676827568))-π/2
    2×atan(0.200807856029762)-π/2
    2×0.198172223677588-π/2
    0.396344447355177-1.57079632675     		φ = -1.17445188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74845048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17445188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.291136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102010 KachelY 99026 1.74845048 -1.17445188 100.178833 -67.291136
    Oben rechts KachelX + 1 102011 KachelY 99026 1.74849841 -1.17445188 100.181579 -67.291136
    Unten links KachelX 102010 KachelY + 1 99027 1.74845048 -1.17447038 100.178833 -67.292196
    Unten rechts KachelX + 1 102011 KachelY + 1 99027 1.74849841 -1.17447038 100.181579 -67.292196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17445188--1.17447038) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dl = 117.863500000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17445188--1.17447038) × R
    1.85000000001434e-05 × 6371000     		dr = 117.863500000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74845048-1.74849841) × cos(-1.17445188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386048760429566 × 6371000     		do = 117.884633163828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74845048-1.74849841) × cos(-1.17447038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386031694513545 × 6371000     		du = 117.879421881068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17445188)-sin(-1.17447038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386048760429566-0.386031694513545)×R²
    abs(1.74849841-1.74845048)×1.70659160216302e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70659160216302e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70659160216302e-05×40589641000000     		ar = 13893.9883513534m²