Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10201 / 2488
↖ ↑ ↗
← N 77.196177°
E 44.143066°		 ← 541.46 m → N 77.196177°
E 44.165039°		 →
↑
541.60 m
↓
↑
541.60 m
↓
N 77.191306°
E 44.143066°		 ← 541.67 m →
293 311 m²		 N 77.191306°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622650146484375 y=0.151885986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622650146484375 × 214)
    floor (0.622650146484375 × 16384)
    floor (10201.5)     		tx = 10201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151885986328125 × 214)
    floor (0.151885986328125 × 16384)
    floor (2488.5)     		ty = 2488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10201 / 2488 ti = "14/10201/2488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10201/2488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10201 ÷ 214
    10201 ÷ 16384     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2488 ÷ 214
    2488 ÷ 16384     		y = 0.15185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15185546875 × 2 - 1) × π
    0.6962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1874566034624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1874566034624))-π/2
    2×atan(8.91251620046194)-π/2
    2×1.45906188710616-π/2
    2.91812377421232-1.57079632675     		φ = 1.34732745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34732745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.196177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10201 KachelY 2488 0.77044185 1.34732745 44.143066 77.196177
    Oben rechts KachelX + 1 10202 KachelY 2488 0.77082535 1.34732745 44.165039 77.196177
    Unten links KachelX 10201 KachelY + 1 2489 0.77044185 1.34724244 44.143066 77.191306
    Unten rechts KachelX + 1 10202 KachelY + 1 2489 0.77082535 1.34724244 44.165039 77.191306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34732745-1.34724244) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dl = 541.598710000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34732745-1.34724244) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dr = 541.598710000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77082535) × cos(1.34732745) × R
    0.000383499999999981 × 0.221613571319039 × 6371000     		do = 541.463674111999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77082535) × cos(1.34724244) × R
    0.000383499999999981 × 0.221696466707767 × 6371000     		du = 541.666210633027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34732745)-sin(1.34724244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221613571319039-0.221696466707767)×R²
    abs(0.77082535-0.77044185)×8.28953887279105e-05×R²
    0.000383499999999981×8.28953887279105e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.28953887279105e-05×40589641000000     		ar = 293310.874346579m²