Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10201 / 2459
↖ ↑ ↗
← N 77.336627°
E 44.143066°		 ← 535.62 m → N 77.336627°
E 44.165039°		 →
↑
535.67 m
↓
↑
535.67 m
↓
N 77.331809°
E 44.143066°		 ← 535.82 m →
286 972 m²		 N 77.331809°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622650146484375 y=0.150115966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622650146484375 × 214)
    floor (0.622650146484375 × 16384)
    floor (10201.5)     		tx = 10201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150115966796875 × 214)
    floor (0.150115966796875 × 16384)
    floor (2459.5)     		ty = 2459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10201 / 2459 ti = "14/10201/2459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10201/2459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10201 ÷ 214
    10201 ÷ 16384     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2459 ÷ 214
    2459 ÷ 16384     		y = 0.15008544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15008544921875 × 2 - 1) × π
    0.6998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19857796417426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19857796417426))-π/2
    2×atan(9.01218872771369)-π/2
    2×1.46028755005375-π/2
    2.9205751001075-1.57079632675     		φ = 1.34977877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34977877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.336627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10201 KachelY 2459 0.77044185 1.34977877 44.143066 77.336627
    Oben rechts KachelX + 1 10202 KachelY 2459 0.77082535 1.34977877 44.165039 77.336627
    Unten links KachelX 10201 KachelY + 1 2460 0.77044185 1.34969469 44.143066 77.331809
    Unten rechts KachelX + 1 10202 KachelY + 1 2460 0.77082535 1.34969469 44.165039 77.331809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34977877-1.34969469) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dl = 535.67367999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34977877-1.34969469) × R
    8.40799999999309e-05 × 6371000     		dr = 535.67367999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77082535) × cos(1.34977877) × R
    0.000383499999999981 × 0.219222541010342 × 6371000     		do = 535.621721165911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77082535) × cos(1.34969469) × R
    0.000383499999999981 × 0.219304574979526 × 6371000     		du = 535.822152999086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34977877)-sin(1.34969469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219222541010342-0.219304574979526)×R²
    abs(0.77082535-0.77044185)×8.20339691833538e-05×R²
    0.000383499999999981×8.20339691833538e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.20339691833538e-05×40589641000000     		ar = 286972.141662633m²