Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102009 / 97739
↖ ↑ ↗
← S 65.887070°
E100.176086°		 ← 124.78 m → S 65.887070°
E100.178833°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
S 65.888193°
E100.176086°		 ← 124.77 m →
15 573 m²		 S 65.888193°
E100.178833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778270721435547 y=0.745693206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778270721435547 × 217)
    floor (0.778270721435547 × 131072)
    floor (102009.5)     		tx = 102009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745693206787109 × 217)
    floor (0.745693206787109 × 131072)
    floor (97739.5)     		ty = 97739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102009 / 97739 ti = "17/102009/97739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102009/97739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102009 ÷ 217
    102009 ÷ 131072     		x = 0.778266906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97739 ÷ 217
    97739 ÷ 131072     		y = 0.745689392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778266906738281 × 2 - 1) × π
    0.556533813476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.74840254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745689392089844 × 2 - 1) × π
    -0.491378784179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54371197846467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74840254} λ = 1.74840254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54371197846467))-π/2
    2×atan(0.213586798524926)-π/2
    2×0.210425005968572-π/2
    0.420850011937145-1.57079632675     		φ = -1.14994631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74840254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.176086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14994631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.887070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102009 KachelY 97739 1.74840254 -1.14994631 100.176086 -65.887070
    Oben rechts KachelX + 1 102010 KachelY 97739 1.74845048 -1.14994631 100.178833 -65.887070
    Unten links KachelX 102009 KachelY + 1 97740 1.74840254 -1.14996590 100.176086 -65.888193
    Unten rechts KachelX + 1 102010 KachelY + 1 97740 1.74845048 -1.14996590 100.178833 -65.888193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14994631--1.14996590) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14994631--1.14996590) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74840254-1.74845048) × cos(-1.14994631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40853644659133 × 6371000     		do = 124.777546517046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74840254-1.74845048) × cos(-1.14996590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408518565897018 × 6371000     		du = 124.772085292754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14994631)-sin(-1.14996590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40853644659133-0.408518565897018)×R²
    abs(1.74845048-1.74840254)×1.78806943125775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78806943125775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78806943125775e-05×40589641000000     		ar = 15572.8814986042m²