Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102003 / 97387
↖ ↑ ↗
← S 65.489044°
E100.159607°		 ← 126.71 m → S 65.489044°
E100.162354°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.490184°
E100.159607°		 ← 126.71 m →
16 056 m²		 S 65.490184°
E100.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.778224945068359 y=0.743007659912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.778224945068359 × 217)
    floor (0.778224945068359 × 131072)
    floor (102003.5)     		tx = 102003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743007659912109 × 217)
    floor (0.743007659912109 × 131072)
    floor (97387.5)     		ty = 97387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102003 / 97387 ti = "17/102003/97387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102003/97387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102003 ÷ 217
    102003 ÷ 131072     		x = 0.778221130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97387 ÷ 217
    97387 ÷ 131072     		y = 0.743003845214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.778221130371094 × 2 - 1) × π
    0.556442260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.74811492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743003845214844 × 2 - 1) × π
    -0.486007690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52683818979841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74811492} λ = 1.74811492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52683818979841))-π/2
    2×atan(0.217221395497845)-π/2
    2×0.213898436359699-π/2
    0.427796872719399-1.57079632675     		φ = -1.14299945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74811492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 100.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14299945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.489044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102003 KachelY 97387 1.74811492 -1.14299945 100.159607 -65.489044
    Oben rechts KachelX + 1 102004 KachelY 97387 1.74816286 -1.14299945 100.162354 -65.489044
    Unten links KachelX 102003 KachelY + 1 97388 1.74811492 -1.14301934 100.159607 -65.490184
    Unten rechts KachelX + 1 102004 KachelY + 1 97388 1.74816286 -1.14301934 100.162354 -65.490184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14299945--1.14301934) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14299945--1.14301934) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74811492-1.74816286) × cos(-1.14299945) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414867228820142 × 6371000     		do = 126.711130364645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74811492-1.74816286) × cos(-1.14301934) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.414849131185881 × 6371000     		du = 126.705602881309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14299945)-sin(-1.14301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414867228820142-0.414849131185881)×R²
    abs(1.74816286-1.74811492)×1.80976342608052e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80976342608052e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80976342608052e-05×40589641000000     		ar = 16056.3815851069m²